(2,0) Calcule integralgamma f d s onde f(x, y)=x^2+y^2+1 e gamma é o segmento de reta de (-1,1) até (2,5).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha de uma função ao longo de um segmento de reta que vai do ponto até . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo de Integrais de Linha, onde a gente integra uma função ao longo de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta x(t) = x1 + (x2 - x1) cdot t que vai de y(t) = y1 + (y2 - y1) cdot t até x(t) = -1 + (2 - (-1)) cdot t = -1 + 3t . Para isso, usamos uma parametrização linear. Vamos chamar o parâmetro de y(t) = 1 + (5 - 1) cdot t = 1 + 4t , que varia de 0 a 1.
A fórmula para parametrizar uma reta de ponto gamma(t) = ( -1 + 3t, , 1 + 4t ), t in [0, 1] a é:
Aplicando isso aos nossos pontos:
Então, nossa parametrização fica:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a expressão para ds = raiz( dxdt )^2 + ( dydt )^2 , dt , que representa um pequeno trecho da curva. dxdt = 3 pode ser calculado usando as derivadas das funções dydt = 4 e ds = raiz3^2 + 4^2 , dt = raiz9 + 16 , dt = raiz25 , dt = 5 , dt :
Calculando as derivadas:
Então:

Passo 4

Agora, substituímos a parametrização na função f(x(t), y(t)) = (-1 + 3t)^2 + (1 + 4t)^2 + 1 :
(-1 + 3t)^2 = 1 - 6t + 9t^2
Vamos expandir os termos:
(1 + 4t)^2 = 1 + 8t + 16t^2
f(x(t), y(t)) = (1 - 6t + 9t^2) + (1 + 8t + 16t^2) + 1 = 3 + 2t + 25t^2
Somando tudo:

Passo 5

Agora, montamos a integral:
integralgamma f , ds = integral0^1 f(x(t), y(t)) cdot ds = integral0^1 (3 + 2t + 25t^2) cdot 5 , dt
Simplificando:
5 integral0^1 (3 + 2t + 25t^2) , dt = 5 [ integral0^1 3 , dt + integral0^1 2t , dt + integral0^1 25t^2 , dt ]
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 6

Calculando as integrais:
integral0^1 3 , dt = 3t |0^1 = 3(1) - 3(0) = 3
integral0^1 2t , dt = t^2 |0^1 = 1^2 - 0^2 = 1
integral0^1 25t^2 , dt = 253 t^3 |0^1 = 253(1) - 253(0) = 253
Somando tudo:
3 + 1 + 253 = 93 + 33 + 253 = 373
Multiplicando pelo 5:
5 cdot 373 = 1853

Resposta

A integral vale .

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