Calcule onde e é o segmento de reta de até .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha de uma função ao longo de um segmento de reta que vai do ponto até . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo de Integrais de Linha, onde a gente integra uma função ao longo de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta que vai de até . Para isso, usamos uma parametrização linear. Vamos chamar o parâmetro de , que varia de 0 a 1.
A fórmula para parametrizar uma reta de ponto a é:
Aplicando isso aos nossos pontos:
Então, nossa parametrização fica:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a expressão para , que representa um pequeno trecho da curva. pode ser calculado usando as derivadas das funções e :
Calculando as derivadas:
Então:

Passo 4

Agora, substituímos a parametrização na função :
Vamos expandir os termos:
Somando tudo:

Passo 5

Agora, montamos a integral:
Simplificando:
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 6

Calculando as integrais:
Somando tudo:
Multiplicando pelo 5:

Resposta

A integral vale .

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