1,5 Mostre que o campo F(x, y) = (2xy + 5) i + (x^2 - 4y^3) j é conservativo e encontre um potencial para F.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial . A tarefa é mostrar que esse campo é conservativo e encontrar uma função potencial para ele. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser expresso como o gradiente de uma função potencial. Para verificar isso, precisamos checar se as derivadas parciais satisfazem a condição de igualdade:
onde .

Passo 3

Identificamos as componentes e do campo :
Calculamos agora as derivadas parciais necessárias:

Passo 4

Como , a condição necessária para que seja conservativo é satisfeita. Portanto, o campo é conservativo.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a função potencial tal que . Isso significa que:
Primeiro, integramos em relação a :
Aqui, é uma função arbitrária de .

Passo 6

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Então:
onde é uma constante de integração.

Passo 7

Substituindo na expressão de , temos:
Podemos ignorar a constante ao encontrar a função potencial.

Resposta

A função potencial para o campo é:

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