Mostre que o campo
é conservativo e encontre um potencial para
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial
. A tarefa é mostrar que esse campo é conservativo e encontrar uma função potencial para ele. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo
é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser expresso como o gradiente de uma função potencial. Para verificar isso, precisamos checar se as derivadas parciais satisfazem a condição de igualdade:
onde
.
Passo 3
Identificamos as componentes
e
do campo
:
Calculamos agora as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Como
, a condição necessária para que
seja conservativo é satisfeita. Portanto, o campo
é conservativo.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a função potencial
tal que
. Isso significa que:
Primeiro, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função arbitrária de
.
Passo 6
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Então:
onde
é uma constante de integração.
Passo 7
Substituindo
na expressão de
, temos:
Podemos ignorar a constante
ao encontrar a função potencial.
Resposta
A função potencial para o campo
é: