Calcule o intervalo de confiança para a média de uma população N(mu ; sigma^2) em cada um dos casos a seguir:
Média amostral Tamanho da amostra Desvio padrão da <br> amostra Nível de confiança
170 cm 100 15 cm 95 %
165 cm 184 30 cm 85 %
180 cm 225 30 cm 70 %

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o intervalo de confiança para a média de uma população que segue uma distribuição normal, . A gente vai precisar usar conceitos de estatística, especificamente sobre intervalos de confiança. Para isso, vamos utilizar a média amostral, o tamanho da amostra, o desvio padrão da amostra e o nível de confiança fornecidos na tabela.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança. Imagina que a média amostral ( barx pm z times ( sigmaraizn ) ) é uma estimativa da média da população ( ). O intervalo de confiança nos dá uma faixa dentro da qual esperamos que a verdadeira média da população esteja, com um certo nível de confiança (como 95%, 85%, etc.).
A fórmula para calcular o intervalo de confiança quando a população segue uma distribuição normal e conhecemos o desvio padrão é:
Onde:
  • é a média amostral.
  • é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança.
  • é o desvio padrão da amostra.
  • é o tamanho da amostra.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o valor de para cada nível de confiança. Esse valor indica quantos desvios padrão a média amostral está afastada da verdadeira média da população.
  • Para 95% de confiança, .
  • Para 85% de confiança, .
  • Para 70% de confiança, .
Esses valores podem ser encontrados em tabelas de distribuição normal ou usando calculadoras estatísticas.

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão ( ) para cada caso:
  1. Primeiro caso:
    • Desvio padrão ( ) = 15 cm
    • Tamanho da amostra ( ) = 100
    • Erro padrão = cm
  2. Segundo caso:
    • Desvio padrão ( ) = 30 cm
    • Tamanho da amostra ( ) = 184
    • Erro padrão = cm
  3. Terceiro caso:
    • Desvio padrão ( ) = 30 cm
    • Tamanho da amostra ( ) = 225
    • Erro padrão = cm

Passo 5

Agora, vamos calcular a margem de erro para cada caso, multiplicando o valor de pelo erro padrão:
  1. Primeiro caso (95% de confiança):
    • Margem de erro = cm
  2. Segundo caso (85% de confiança):
    • Margem de erro = cm
  3. Terceiro caso (70% de confiança):
    • Margem de erro = cm

Passo 6

Finalmente, vamos determinar o intervalo de confiança adicionando e subtraindo a margem de erro da média amostral:
  1. Primeiro caso:
    • Média amostral = 170 cm
    • Intervalo de confiança =
    • Então, o intervalo é de cm a cm
  2. Segundo caso:
    • Média amostral = 165 cm
    • Intervalo de confiança =
    • Então, o intervalo é de cm a cm
  3. Terceiro caso:
    • Média amostral = 180 cm
    • Intervalo de confiança =
    • Então, o intervalo é de cm a cm

Resposta

Os intervalos de confiança para a média da população são:
  1. 95% de confiança: de cm a cm
  2. 85% de confiança: de cm a cm
  3. 70% de confiança: de cm a cm

Exercícios relacionados