Calcule o intervalo de confiança para a média de uma população
em cada um dos casos a seguir:
Média amostral | Tamanho da amostra | Desvio padrão da <br> amostra | Nível de confiança |
---|---|---|---|
170 cm | 100 | 15 cm |
|
165 cm | 184 | 30 cm |
|
180 cm | 225 | 30 cm |
|
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o intervalo de confiança para a média de uma população que segue uma distribuição normal,
. A gente vai precisar usar conceitos de estatística, especificamente sobre intervalos de confiança. Para isso, vamos utilizar a média amostral, o tamanho da amostra, o desvio padrão da amostra e o nível de confiança fornecidos na tabela.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança. Imagina que a média amostral (
) é uma estimativa da média da população (
). O intervalo de confiança nos dá uma faixa dentro da qual esperamos que a verdadeira média da população esteja, com um certo nível de confiança (como 95%, 85%, etc.).
A fórmula para calcular o intervalo de confiança quando a população segue uma distribuição normal e conhecemos o desvio padrão é:
Onde:
-
é a média amostral. -
é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança. -
é o desvio padrão da amostra. -
é o tamanho da amostra.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o valor de
para cada nível de confiança. Esse valor indica quantos desvios padrão a média amostral está afastada da verdadeira média da população.
- Para 95% de confiança,
. - Para 85% de confiança,
. - Para 70% de confiança,
.
Esses valores podem ser encontrados em tabelas de distribuição normal ou usando calculadoras estatísticas.
Passo 4
Vamos calcular o erro padrão (
) para cada caso:
-
Primeiro caso:
- Desvio padrão (
) = 15 cm - Tamanho da amostra (
) = 100 - Erro padrão =
cm
- Desvio padrão (
-
Segundo caso:
- Desvio padrão (
) = 30 cm - Tamanho da amostra (
) = 184 - Erro padrão =
cm
- Desvio padrão (
-
Terceiro caso:
- Desvio padrão (
) = 30 cm - Tamanho da amostra (
) = 225 - Erro padrão =
cm
- Desvio padrão (
Passo 5
Agora, vamos calcular a margem de erro para cada caso, multiplicando o valor de
pelo erro padrão:
-
Primeiro caso (95% de confiança):
- Margem de erro =
cm
- Margem de erro =
-
Segundo caso (85% de confiança):
- Margem de erro =
cm
- Margem de erro =
-
Terceiro caso (70% de confiança):
- Margem de erro =
cm
- Margem de erro =
Passo 6
Finalmente, vamos determinar o intervalo de confiança adicionando e subtraindo a margem de erro da média amostral:
-
Primeiro caso:
- Média amostral = 170 cm
- Intervalo de confiança =
- Então, o intervalo é de
cm a cm
-
Segundo caso:
- Média amostral = 165 cm
- Intervalo de confiança =
- Então, o intervalo é de
cm a cm
-
Terceiro caso:
- Média amostral = 180 cm
- Intervalo de confiança =
- Então, o intervalo é de
cm a cm
Resposta
Os intervalos de confiança para a média da população são:
- 95% de confiança: de
cm a cm - 85% de confiança: de
cm a cm - 70% de confiança: de
cm a cm