A altura dos homens de uma cidade apresenta distribuição normal e, para estimar a altura média dessa população, levantou-se uma amostra de 150 indivíduos, obtendo-se:
Ao nível de 2% de significância, determinar o intervalo de confiança para a altura média dos homens da cidade em estudo.
Passo 1
Então, a gente está lidando com um problema de estatística onde queremos descobrir a altura média dos homens de uma cidade. A altura deles segue uma distribuição normal. Para isso, foi feita uma amostra com 150 homens, e temos a soma das alturas e a soma dos quadrados das alturas. Vamos precisar usar conceitos de estatística, como média, desvio padrão e intervalo de confiança, para resolver esse exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média das alturas da amostra. A média () é simplesmente a soma das alturas dividida pelo número de indivíduos na amostra.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o desvio padrão da amostra. Para isso, usamos a fórmula do desvio padrão ():
Agora, divida pelo número de graus de liberdade (150 - 1 = 149):
Por fim, tire a raiz quadrada para obter o desvio padrão:
Passo 4
Com a média e o desvio padrão em mãos, vamos construir o intervalo de confiança para a altura média. Como a distribuição é normal e a amostra é grande (150 indivíduos), podemos usar a distribuição normal padrão.
O nível de significância é de 2%, o que significa que o intervalo de confiança será de 98%.
Primeiro, encontramos o valor crítico z = 2,326 correspondente a 99% (já que é bilateral, dividimos a significância por 2):
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula do intervalo de confiança:
barx pm z times sraizn
Substituindo os valores:
172 pm 2,326 times 0,129raiz150
Calculando o erro padrão ( 0,129raiz150 approx 0,12912,247 approx 0,0105 cm ):
2,326 times 0,0105 approx 0,0244 cm
Multiplicando pelo valor crítico:
Resposta
O intervalo de confiança de 98% para a altura média dos homens da cidade é entre aproximadamente 171,9756 cm e 172,0244 cm.