A altura dos homens de uma cidade apresenta distribuição normal e, para estimar a altura média dessa população, levantou-se uma amostra de 150 indivíduos, obtendo-se:
sumi=1^150 xi=25.800 cm
sumi=1^150 xi ^2=4.440 075 cm^2
Ao nível de 2% de significância, determinar o intervalo de confiança para a altura média dos homens da cidade em estudo.

Passo 1

Então, a gente está lidando com um problema de estatística onde queremos descobrir a altura média dos homens de uma cidade. A altura deles segue uma distribuição normal. Para isso, foi feita uma amostra com 150 homens, e temos a soma das alturas e a soma dos quadrados das alturas. Vamos precisar usar conceitos de estatística, como média, desvio padrão e intervalo de confiança, para resolver esse exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média das alturas da amostra. A média ( barx = sumi=1^150 xi150 = 25.800150 = 172 cm ) é simplesmente a soma das alturas dividida pelo número de indivíduos na amostra.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o desvio padrão da amostra. Para isso, usamos a fórmula do desvio padrão ( s = raizsumi=1^150 xi^2 - (sumi=1^150 xi)^2150150 - 1 ):
sum xi^2 = 4.440.075 cm^2
Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calcule (25.800)^2150 = 665.640150 = 4.437,6 cm^2 :
4.440.075 - 4.437,6 = 2,475 cm^2
Agora, calcule 2,475149 approx 0,0166 cm^2 :
s = raiz0,0166 approx 0,129 cm
Subtraia esse valor de :
Agora, divida pelo número de graus de liberdade (150 - 1 = 149):
Por fim, tire a raiz quadrada para obter o desvio padrão:

Passo 4

Com a média e o desvio padrão em mãos, vamos construir o intervalo de confiança para a altura média. Como a distribuição é normal e a amostra é grande (150 indivíduos), podemos usar a distribuição normal padrão.
O nível de significância é de 2%, o que significa que o intervalo de confiança será de 98%.
Primeiro, encontramos o valor crítico z = 2,326 correspondente a 99% (já que é bilateral, dividimos a significância por 2):

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula do intervalo de confiança:
barx pm z times sraizn
Substituindo os valores:
172 pm 2,326 times 0,129raiz150
Calculando o erro padrão ( 0,129raiz150 approx 0,12912,247 approx 0,0105 cm ):
2,326 times 0,0105 approx 0,0244 cm
Multiplicando pelo valor crítico:

Resposta

O intervalo de confiança de 98% para a altura média dos homens da cidade é entre aproximadamente 171,9756 cm e 172,0244 cm.

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