Calcule os itens pedidos abaixo para um cristal cúbico de corpo centrado, com raio atômico igual a 0,45 nm.
Densidade atômica planar para o plano (101)
Densidade atômica planar para o plano (101)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos que calcular a densidade atômica planar para o plano (101) em um cristal cúbico de corpo centrado (CCC). Para isso, vamos usar conceitos de estrutura cristalina e geometria dos planos cristalinos. Precisamos do raio atômico, que é 0,45 nm, para seguir em frente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um cristal cúbico de corpo centrado (CCC), cada célula unitária tem átomos nos cantos e um átomo no centro. O raio atômico (
) está relacionado ao comprimento da aresta da célula unitária (
) pela fórmula:
Vamos calcular
:
Passo 3
Agora, precisamos entender o que é a densidade atômica planar. Ela representa o número de átomos presentes por unidade de área em um determinado plano cristalino. Para o plano (101) em CCC, vamos identificar como os átomos estão dispostos nesse plano.
Passo 4
No plano (101) de um cristal cúbico, os índices de Miller nos dizem a orientação desse plano. Vamos visualizar o plano (101): ele corta o eixo x em 1, o eixo y em infinito (porque o índice é 0) e o eixo z em 1. Isso significa que o plano é inclinado em relação aos eixos x e z e paralelo ao eixo y.
Passo 5
Vamos determinar quais átomos estão presentes no plano (101). Em CCC, os átomos nos cantos são compartilhados com outras células unitárias, então cada canto contribui com
de um átomo por célula unitária. Além disso, há um átomo totalmente dentro da célula no centro.
Passo 6
Para calcular a densidade atômica planar (
), usamos a fórmula:
Precisamos determinar quantos átomos estão no plano (101) e calcular a área desse plano.
Passo 7
Encontrar o número de átomos no plano (101) envolve contar os átomos que realmente pertencem a esse plano dentro da célula unitária. No CCC, isso geralmente resulta em uma fração de átomos por célula unitária que estão no plano específico.
Passo 8
A área do plano (101) na célula unitária cúbica pode ser calculada usando a geometria do plano e o comprimento da aresta
:
Onde
é a distância interplanar, que para o sistema cúbico é:
Para o plano (101):
Assim, a área do plano:
Passo 9
Agora, vamos considerar o número de átomos no plano (101). Supondo que haja 2 átomos efetivos por plano (dependendo da geometria específica), então:
Resposta
A densidade atômica planar para o plano (101) é aproximadamente
.