Calcule os itens pedidos abaixo para um cristal cúbico de corpo centrado, com raio atômico igual a 0,45 nm.
Densidade atômica linear em [110]
Densidade atômica linear em [110]
Passo 1
Entendendo o problema
Vamos calcular a densidade atômica linear na direção [110] para um cristal cúbico de corpo centrado (BCC), onde o raio atômico é igual a 0,45 nm.
O que é densidade atômica linear?
A densidade atômica linear é uma medida de quantos átomos estão presentes por unidade de comprimento em uma determinada direção cristalina.
A densidade atômica linear é uma medida de quantos átomos estão presentes por unidade de comprimento em uma determinada direção cristalina.
O que precisamos para resolver:
- Relacionar o raio atômico ao parâmetro de rede (tamanho da célula unitária).
- Determinar o comprimento da direção [110] na célula unitária BCC.
- Contar quantos átomos estão presentes nessa direção.
- Calcular a densidade atômica linear usando esses valores.
Passo 2
Relacionando o raio atômico ao parâmetro de rede
Em um cristal cúbico de corpo centrado (BCC), a relação entre o raio atômico
e o parâmetro de rede
é dada pela fórmula:
Onde:
-
(raio atômico)
Calculando
:
Passo 3
Determinar o comprimento da direção [110] na célula unitária BCC
A direção [110] em um cristal cúbico passa por dois pontos importantes:
- Origem da célula unitária.
- Centro da célula unitária.
A distância entre esses dois pontos na direção [110] pode ser calculada usando o comprimento da diagonale [110] em uma face do cubo, que é dada por:
Calculando
:
Passo 4
Contar quantos átomos estão presentes na direção [110]
Em uma célula unitária BCC:
- Há 2 átomos por célula unitária (8 cantos
1/8 cada + 1 no centro). - Na direção [110], os átomos que contribuem são:
- Um átomo no início da direção (compartilhado entre 4 células, portanto, contribuição de 1/4).
- Um átomo no centro, completamente dentro da célula.
- Um átomo no final da direção (também 1/4 da contribuição).
Total de átomos na direção [110]:
Passo 5
Calcular a densidade atômica linear
A densidade atômica linear
é dada por:
Substituindo os valores encontrados:
Resposta
A densidade atômica linear na direção [110] para o cristal BCC é aproximadamente 1,02 átomos por nanômetro.