Mostrar que no cristal 1D com um sítio na célula unitária, e contendo apenas energia de hopping e energia de sítio, o Hamiltoniano na rede direta
H=-t sumj=1^N cj^dag>=r cj+1+mu sumj=1^N cj^dag>=r cj+H c
é dado, na rede recíproca, por
H=sumk varepsilon(k) ck^dag>=r ck
onde
varepsilon(k)=-2 t cos (k)+mu

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar como o Hamiltoniano de um cristal unidimensional com um sítio na célula unitária, considerando energia de hopping e energia de sítio, se transforma da rede direta para a rede recíproca. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a representação de operadores na rede direta e recíproca, além de aplicar a transformação de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Hamiltoniano na rede direta que nos foi dado:
H = -t sumj=1^N cj^dag>=r cj+1 + mu sumj=1^N cj^dag>=r cj + Hc
Aqui, é a energia de hopping (salto de um sítio para o próximo), é a energia de sítio, e são os operadores de criação e aniquilação no sítio , e H.c. representa o termo hermitiano conjugado.

Passo 3

Para passar para a rede recíproca, precisamos expressar os operadores cj = 1raizN sumk e^ikj ck e cj^dag>=r = 1raizN sumk e^-ikj ck^dag>=r em termos dos operadores no espaço de momento e . Isso é feito usando a transformação de Fourier:
Aqui, é o número de sítios no cristal e são os vetores de onda no espaço recíproco.

Passo 4

Vamos substituir essas expressões no Hamiltoniano:
H = -t sumj=1^N ( 1raizN sumk' e^-ik'j ck'^dag>=r ) ( 1raizN sumk e^ik(j+1) ck ) + mu sumj=1^N ( 1raizN sumk' e^-ik'j ck'^dag>=r ) ( 1raizN sumk e^ikj ck ) + Hc

Passo 5

Vamos simplificar as somas. Para o termo de hopping:
-t sumj=1^N 1N sumk',k e^-ik'j e^ik(j+1) ck'^dag>=r ck = -tN sumk',k e^ik sumj=1^N e^i(k - k')j ck'^dag>=r ck
A soma sobre -t sumk e^ik ck^dag>=r ck resulta em uma delta de Kronecker mu sumj=1^N 1N sumk',k e^-ik'j e^ikj ck'^dag>=r ck = mu sumk',k de=r ck = mu sumk ck^dag>=r ck , simplificando para:
Para o termo de energia de sítio:

Passo 6

Agora, combinando os termos e adicionando o hermitiano conjugado, temos:
H = -t sumk e^ik ck^dag>=r ck -t sumk e^-ik ck^dag>=r ck + mu sumk ck^dag>=r ck
Simplificando os termos de hopping usando a identidade H = sumk ( -2t cos(k) + mu ) ck^dag>=r ck :

Resposta

Portanto, na rede recíproca, o Hamiltoniano é dado por
H = sumk varepsilon(k) ck^dag>=r ck
onde
varepsilon(k) = -2t cos(k) + mu

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