Mostrar que no cristal 1D com um sítio na célula unitária, e contendo apenas energia de hopping e energia de sítio, o Hamiltoniano na rede direta
é dado, na rede recíproca, por
onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar como o Hamiltoniano de um cristal unidimensional com um sítio na célula unitária, considerando energia de hopping e energia de sítio, se transforma da rede direta para a rede recíproca. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a representação de operadores na rede direta e recíproca, além de aplicar a transformação de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o Hamiltoniano na rede direta que nos foi dado:
Aqui,
é a energia de hopping (salto de um sítio para o próximo),
é a energia de sítio,
e
são os operadores de criação e aniquilação no sítio
, e H.c. representa o termo hermitiano conjugado.
Passo 3
Para passar para a rede recíproca, precisamos expressar os operadores
e
em termos dos operadores no espaço de momento
e
. Isso é feito usando a transformação de Fourier:
Aqui,
é o número de sítios no cristal e
são os vetores de onda no espaço recíproco.
Passo 4
Vamos substituir essas expressões no Hamiltoniano:
Passo 5
Vamos simplificar as somas. Para o termo de hopping:
A soma sobre
resulta em uma delta de Kronecker
, simplificando para:
Para o termo de energia de sítio:
Passo 6
Agora, combinando os termos e adicionando o hermitiano conjugado, temos:
Simplificando os termos de hopping usando a identidade
:
Resposta
Portanto, na rede recíproca, o Hamiltoniano é dado por
onde