Calcule:
Justifique suas
c) (2 pontos) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo Integral, especificamente lidando com integrais racionais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte forma:

Passo 3

Agora, vamos expressar como uma soma de frações parciais:
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos e combinamos os termos:

Passo 5

Para que as equações sejam iguais para todos os valores de , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais:
  • Coeficiente de :
  • Termo constante:

Passo 6

Resolvemos o sistema de equações:
  1. De , temos .
  2. Substituindo em :
Então, .

Passo 7

Agora que temos e , podemos escrever a fração original como:

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 9

As integrais de são logaritmos naturais. Então:

Passo 10

Calculamos os valores nos limites de integração:
  1. Para :
    • Em :
    • Em :
  2. Para :
    • Em :
    • Em :

Passo 11

Substituindo os limites:

Resposta

Então, o valor da integral é:

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