Calcule:
Justifique suas
c) (2 pontos) C:=integral0^1 d yy^2-4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo Integral, especificamente lidando com integrais racionais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador y^2 - 4 = (y - 2)(y + 2) . Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte forma:

Passo 3

Agora, vamos expressar 1(y - 2)(y + 2) = Ay - 2 + By + 2 como uma soma de frações parciais:
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por 1 = A(y + 2) + B(y - 2) para eliminar os denominadores:
1 = Ay + 2A + By - 2B
Agora, expandimos e combinamos os termos:
1 = (A + B)y + (2A - 2B)

Passo 5

Para que as equações sejam iguais para todos os valores de , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais:
  • Coeficiente de :
  • Termo constante:

Passo 6

Resolvemos o sistema de equações:
  1. De 2(-B) - 2B = 1 , temos -2B - 2B = 1 .
  2. Substituindo em -4B = 1 :
B = -14
Então, .

Passo 7

Agora que temos 1y^2 - 4 = 1/4y - 2 - 1/4y + 2 e , podemos escrever a fração original como:

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:
C = integral0^1 ( 1/4y - 2 - 1/4y + 2 ) dy
C = 14 integral0^1 dyy - 2 - 14 integral0^1 dyy + 2

Passo 9

As integrais de C = 14 ln|y - 2| |0^1 - 14 ln|y + 2| |0^1 são logaritmos naturais. Então:

Passo 10

Calculamos os valores nos limites de integração:
  1. Para :
    • Em :
    • Em :
  2. Para :
    • Em :
    • Em :

Passo 11

Substituindo os limites:
C = 14 (0 - ln(2)) - 14 (ln(3) - ln(2))
C = -14 ln(2) - 14 ln(3) + 14 ln(2)
C = -14 ln(3)

Resposta

Então, o valor da integral é:
C = -14 ln(3)

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