Calcule:
Justifique suas
c) (2 pontos)
.
Justifique suas
c) (2 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo Integral, especificamente lidando com integrais racionais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte forma:
Passo 3
Agora, vamos expressar
como uma soma de frações parciais:
Aqui,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos e combinamos os termos:
Passo 5
Para que as equações sejam iguais para todos os valores de
, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais:
- Coeficiente de
: - Termo constante:
Passo 6
Resolvemos o sistema de equações:
- De
, temos . - Substituindo em
:
Então,
.
Passo 7
Agora que temos
e
, podemos escrever a fração original como:
Passo 8
Vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 9
As integrais de
são logaritmos naturais. Então:
Passo 10
Calculamos os valores nos limites de integração:
- Para
:- Em
: - Em
:
- Em
- Para
:- Em
: - Em
:
- Em
Passo 11
Substituindo os limites:
Resposta
Então, o valor da integral é: