Esboce o gráfico da funçāo
y = (3x + 1) / ((x + 2)(x - 3))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta pede para a gente esboçar o gráfico da função . Vamos trabalhar com a matéria de Análise de Funções Racionais, e para resolver isso, vamos precisar identificar interceptos, assíntotas e o comportamento da função nessas áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interceptação com os eixos. Para isso:
  • Intercepto com o eixo y: quando .
  • Interceptos com o eixo x: quando .
Intercepto com o eixo y:
Substituímos na função:
Então, o intercepto com o eixo y é .
Interceptos com o eixo x:
Para encontrar quando , igualamos a função a zero:
O numerador precisa ser zero:
Então, o intercepto com o eixo x é .

Passo 3

Agora, vamos identificar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador é zero, já que a função não está definida nesses pontos.
Então, temos duas assíntotas verticais: e .

Passo 4

Em seguida, vamos determinar a assíntota horizontal. Para isso, observamos o comportamento da função quando tende a infinito ou menos infinito.
Comparando os termos de maior grau no numerador e no denominador:
  • Grau do numerador: 1 (3x)
  • Grau do denominador: 2 (x²)
Como o grau do denominador é maior que o do numerador, a assíntota horizontal é .

Passo 5

Vamos agora analisar o comportamento da função próximo às assíntotas e aos interceptos:
  • Entre as assíntotas verticais ( ): Verificamos os sinais para entender se a função está acima ou abaixo do eixo x.
  • Para e : Verificamos como a função se comporta em cada extremidade.
Essa análise ajuda a desenhar o gráfico de forma mais precisa.

Passo 6

Por fim, juntando todas as informações:
  • Pontos de intercepto: e .
  • Assíntotas verticais em e .
  • Assíntota horizontal em .
Com esses dados, podemos esboçar o gráfico da função, desenhando as assíntotas e plotando os interceptos, além de observar o comportamento da função nas diferentes regiões delimitadas pelas assíntotas.

Resposta

O gráfico da função possui intercepto em , intercepto em , assíntotas verticais em e , e uma assíntota horizontal em . Com esses elementos, o esboço do gráfico pode ser desenhado seguindo esses pontos e comportamentos.

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