Esboce o gráfico da funçāo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta pede para a gente esboçar o gráfico da função
. Vamos trabalhar com a matéria de Análise de Funções Racionais, e para resolver isso, vamos precisar identificar interceptos, assíntotas e o comportamento da função nessas áreas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interceptação com os eixos. Para isso:
- Intercepto com o eixo y: quando
. - Interceptos com o eixo x: quando
.
Intercepto com o eixo y:
Substituímos na função:
Substituímos
Então, o intercepto com o eixo y é
.
Interceptos com o eixo x:
Para encontrar quando , igualamos a função a zero:
Para encontrar quando
O numerador precisa ser zero:
Então, o intercepto com o eixo x é
.
Passo 3
Agora, vamos identificar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador é zero, já que a função não está definida nesses pontos.
Então, temos duas assíntotas verticais:
e
.
Passo 4
Em seguida, vamos determinar a assíntota horizontal. Para isso, observamos o comportamento da função quando
tende a infinito ou menos infinito.
Comparando os termos de maior grau no numerador e no denominador:
- Grau do numerador: 1 (3x)
- Grau do denominador: 2 (x²)
Como o grau do denominador é maior que o do numerador, a assíntota horizontal é
.
Passo 5
Vamos agora analisar o comportamento da função próximo às assíntotas e aos interceptos:
- Entre as assíntotas verticais (
): Verificamos os sinais para entender se a função está acima ou abaixo do eixo x. - Para
e : Verificamos como a função se comporta em cada extremidade.
Essa análise ajuda a desenhar o gráfico de forma mais precisa.
Passo 6
Por fim, juntando todas as informações:
- Pontos de intercepto:
e . - Assíntotas verticais em
e . - Assíntota horizontal em
.
Com esses dados, podemos esboçar o gráfico da função, desenhando as assíntotas e plotando os interceptos, além de observar o comportamento da função nas diferentes regiões delimitadas pelas assíntotas.
Resposta
O gráfico da função
possui intercepto em
, intercepto em
, assíntotas verticais em
e
, e uma assíntota horizontal em
. Com esses elementos, o esboço do gráfico pode ser desenhado seguindo esses pontos e comportamentos.