Calcule: lim x 0 e^2 x-13 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem a expressão lim x 0 e^2 x-13 x. Esse exercício faz parte do estudo de limites, que é uma parte fundamental do cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com expressões que dão uma forma indeterminada, tipo 0/0, quando substituímos o valor que x está se aproximando.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que acontece com o numerador e o denominador quando x se aproxima de 0:
  • Numerador: e^2x - 1. Sabemos que e^0 = 1, então quando x 0, e^2x 1, e então e^2x - 1 0.
  • Denominador: 3x. Quando x 0, claro, 3x 0 também.
Então, a gente tem uma forma 00, que é indeterminada. Isso significa que precisamos de uma técnica para resolver, e uma opção bem comum é a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se você tem um limite que resulta em 00 ou inftyinfty, você pode tirar as derivadas do numerador e do denominador e calcular o limite dessas derivadas.
Vamos aplicar isso:
  • Derivada do numerador: A derivada de e^2x em relação a x é 2e^2x. A derivada de -1 é 0, então a derivada total do numerador é 2e^2x.
  • Derivada do denominador: A derivada de 3x em relação a x é simplesmente 3.
Agora, nosso limite fica assim:
lim x 0 2e^2x3

Passo 4

Agora, substituímos x por 0 nessa nova expressão:
2e^2 times 03 = 2e^03 = 2 times 13 = 23

Resposta

O limite é 23.

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