Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem a expressão
. Esse exercício faz parte do estudo de limites, que é uma parte fundamental do cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com expressões que dão uma forma indeterminada, tipo 0/0, quando substituímos o valor que
está se aproximando.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que acontece com o numerador e o denominador quando
se aproxima de 0:
- Numerador:
. Sabemos que , então quando , , e então . - Denominador:
. Quando , claro, também.
Então, a gente tem uma forma
, que é indeterminada. Isso significa que precisamos de uma técnica para resolver, e uma opção bem comum é a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital diz que se você tem um limite que resulta em
ou
, você pode tirar as derivadas do numerador e do denominador e calcular o limite dessas derivadas.
Vamos aplicar isso:
- Derivada do numerador: A derivada de
em relação a é . A derivada de é 0, então a derivada total do numerador é . - Derivada do denominador: A derivada de
em relação a é simplesmente .
Agora, nosso limite fica assim:
Passo 4
Agora, substituímos
por 0 nessa nova expressão:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
[2 pt] Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta.
(h) As curvas de nível da função são parábolas.
(h) As curvas de nível da função
[2 pt] Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta.
(a) Seja uma função contínua no intervalo
, então
.
(a) Seja
[1 pt] Descreva e esboce o domínio da função
.
Verifique se a função dada em cada uma das sentenças abaixo é contínua.