[1 pt] Descreva e esboce o domínio da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para descrever e esboçar o domínio da função
. Aqui, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis, especificamente analisando quando cada parte da função está definida. Precisamos garantir que as expressões dentro da raiz quadrada e do logaritmo estejam dentro dos intervalos permitidos para que a função exista.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte da raiz quadrada:
. Para que a expressão dentro da raiz seja real e definida, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero:
Isso significa que:
Essa é a equação de um círculo de raio 1 centrado na origem. Então, essa condição nos diz que os pontos
devem estar dentro ou sobre o círculo de raio 1.
Passo 3
Agora, vamos analisar a parte do logaritmo:
. O logaritmo natural está definido apenas para argumentos positivos. Portanto, precisamos que:
Ou seja:
Essa é a equação de uma reta que divide o plano em duas regiões. Queremos os pontos que estão acima dessa reta.
Passo 4
Para encontrar o domínio completo da função, precisamos que ambas as condições sejam satisfeitas simultaneamente:
-
(dentro ou sobre o círculo de raio 1) -
(acima da reta )
Isso significa que o domínio é a interseção dessas duas regiões: os pontos que estão dentro do círculo e, ao mesmo tempo, acima da reta
.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pontos
que satisfazem:
Graficamente, é a região dentro ou sobre o círculo de raio 1 centrado na origem e acima da reta
.
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