Calcule e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver dois limites aqui. O primeiro é e o segundo é . Vamos precisar entender um pouco sobre valores absolutos e funções de passo (como a função piso). Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar com o primeiro limite: . Aqui, temos expressões com valores absolutos. Sabemos que é o valor absoluto de , que é sempre positivo.

Passo 3

Para resolver isso, vamos analisar o que acontece quando se aproxima de 0. Substituindo , temos:
Isso é uma indeterminação, então precisamos simplificar a expressão.

Passo 4

Vamos simplificar e . Quando é próximo de 0, é pequeno comparado com 4. Então:
  • é negativo, então
  • é positivo, então

Passo 5

Substituindo na expressão original:

Passo 6

Simplificando , temos:
Então, o limite é .

Passo 7

Agora, vamos para o segundo limite: . Aqui, representa a função piso, que dá o maior inteiro menor ou igual a .

Passo 8

Vamos analisar o comportamento de quando se aproxima de 0. Se está próximo de 0 pelo lado positivo (por exemplo, ), então . Se está próximo de 0 pelo lado negativo (por exemplo, ), então .

Passo 9

Então, temos duas situações:
  1. Quando (pela direita):
  2. Quando (pela esquerda):
No segundo caso, quando se aproxima de 0 negativamente, tende a .

Passo 10

Como os limites pela direita e pela esquerda não são iguais, o limite geral não existe.

Resposta

O primeiro limite é e o segundo limite não existe.

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