Calcule
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver dois limites aqui. O primeiro é
e o segundo é
. Vamos precisar entender um pouco sobre valores absolutos e funções de passo (como a função piso). Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar com o primeiro limite:
. Aqui, temos expressões com valores absolutos. Sabemos que
é o valor absoluto de
, que é sempre positivo.
Passo 3
Para resolver isso, vamos analisar o que acontece quando
se aproxima de 0. Substituindo
, temos:
Isso é uma indeterminação, então precisamos simplificar a expressão.
Passo 4
Vamos simplificar
e
. Quando
é próximo de 0,
é pequeno comparado com 4. Então:
-
é negativo, então -
é positivo, então
Passo 5
Substituindo na expressão original:
Passo 6
Simplificando
, temos:
Então, o limite é
.
Passo 7
Agora, vamos para o segundo limite:
. Aqui,
representa a função piso, que dá o maior inteiro menor ou igual a
.
Passo 8
Vamos analisar o comportamento de
quando
se aproxima de 0. Se
está próximo de 0 pelo lado positivo (por exemplo,
), então
. Se
está próximo de 0 pelo lado negativo (por exemplo,
), então
.
Passo 9
Então, temos duas situações:
- Quando
(pela direita): - Quando
(pela esquerda):
No segundo caso, quando
se aproxima de 0 negativamente,
tende a
.
Passo 10
Como os limites pela direita e pela esquerda não são iguais, o limite geral não existe.
Resposta
O primeiro limite é
e o segundo limite não existe.
Exercícios relacionados
Mostre que existe
tal que
.
Calcule os limites abaixo:
Resolva os seguintes problemas sobre Binomio de Newton:
a) Desenvolva o binômio .
a) Desenvolva o binômio