Calcule os limites abaixo:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando tende ao infinito da expressão . Para resolver isso, vamos precisar saber sobre limites no infinito, como simplificar expressões com raízes e polinômios, e identificar quais termos têm maior influência conforme cresce.

Passo 2

Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente para ver como eles se comportam quando fica muito grande.
No numerador, temos . Quando é muito grande, o termo domina sobre o 1 dentro da raiz. Então, podemos aproximar:

Passo 3

No denominador, temos . Novamente, quando é muito grande, o termo se torna insignificante em comparação com . Assim, podemos simplificar:

Passo 4

Agora, substituímos as aproximações no limite original:

Passo 5

Vamos simplificar a fração :

Passo 6

Agora, calculamos o limite da expressão simplificada:

Resposta

O limite é infinito, ou seja, .

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Calcule os limites abaixo:
Determine, se possível, as constantes e de modo que as funções abaixo sejam contínuas no ponto , sendo:
Mostre que existe tal que .
Calcule e .