Calcule lim x 1 raiz[3]3 x+5-2x^2-1

Passo 1

Vamos resumir o enunciado da questão: queremos calcular o limite da função raiz[3]3 x+5-2x^2-1 quando x se aproxima de 1. O assunto aqui é limites, uma parte importante do cálculo. Para resolver, vamos precisar de algumas propriedades de limites e também de uma técnica chamada racionalização.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir x = 1 na função para ver o que acontece:
lim x 1 raiz[3]3(1)+5-2(1)^2-1 = raiz[3]3+5-21-1 = raiz[3]8-20 = 2-20 = 00
Quando substituímos, obtemos uma indeterminação do tipo 00. Isso significa que precisamos de um novo método para resolver esse limite. Uma abordagem comum quando encontramos essa situação é tentar simplificar a expressão.

Passo 3

O próximo passo é tentar simplificar a parte do numerador, que é raiz[3]3x + 5 - 2. Podemos fazer isso multiplicando e dividindo a função pelo seu conjugado, que é a expressão cúbica. Vamos fazer isso:
raiz[3]3x+5-2 = (3x+5) - 8raiz[3](3x+5)^2 + raiz[3](3x+5) cdot 2 + 2^2
Com isso, nosso limite agora fica assim:
limx 1 (3x + 5) - 8raiz[3](3x + 5)^2 + 2raiz[3]3x + 5 + 4 cdot 1x^2 - 1
Vamos simplificar mais essa expressão. O termo (3x + 5) - 8 = 3x - 3 = 3(x - 1). Agora, o limite se transforma em:
limx 1 3(x - 1)(x^2 - 1)(raiz[3](3x + 5)^2 + 2raiz[3]3x + 5 + 4)
Lembrando que x^2 - 1 pode ser escrito como (x - 1)(x + 1). Assim, vamos substituir:
limx 1 3(x - 1)(x - 1)(x + 1)(raiz[3](3x + 5)^2 + 2raiz[3]3x + 5 + 4)
Agora, podemos cancelar o (x - 1):
limx 1 3(x + 1)(raiz[3](3x + 5)^2 + 2raiz[3]3x + 5 + 4)

Passo 4

Agora que já simplificamos, vamos substituir x = 1:
= 3(1 + 1)(raiz[3](3(1) + 5)^2 + 2raiz[3]3(1) + 5 + 4) = 32(raiz[3]8^2 + 2raiz[3]8 + 4)
Calculemos raiz[3]8^2 = raiz[3]64 = 4 e raiz[3]8 = 2. Substituindo isso:
= 32(4 + 2 cdot 2 + 4) = 32(4 + 4 + 4) = 32 cdot 12 = 324 = 18

Resposta

A resposta final é 18.

Exercícios relacionados