calcule lim x 1 raizx-1raiz2 x+3-raiz5

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse problema envolve o estudo de limites, uma parte fundamental do cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com expressões que resultam em formas indeterminadas, como .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos raiz1 - 1 = raiz0 = 0 diretamente na expressão.
No numerador:
raiz2(1) + 3 - raiz5 = raiz5 - raiz5 = 0
No denominador:
Então, ao substituir , temos uma expressão do tipo , que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos de outra estratégia para encontrar o limite.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada como limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) , uma ferramenta útil é a Regra de L’Hôpital. Essa regra nos diz que se resulta em ou , então podemos calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente:

Passo 4

Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital ao nosso limite. Primeiro, vamos encontrar as derivadas do numerador e do denominador.
Derivada do numerador, f'(x) = 12raizx - 1 :
g'(x) = 22raiz2x + 3 = 1raiz2x + 3
Derivada do denominador, :

Passo 5

Agora, substituímos as derivadas no limite:
lim x 1 raizx-1raiz2 x+3-raiz5 = lim x 1 12raizx - 11raiz2x + 3
Simplificando a expressão:
= lim x 1 raiz2x + 32raizx - 1

Passo 6

Agora, vamos substituir raiz2(1) + 3 = raiz5 novamente na nova expressão. No numerador:
2raiz1 - 1 = 2raiz0 = 0
No denominador:
raiz50
Isso nos dá:

Passo 7

A expressão sugere que o limite tende ao infinito. Precisamos determinar se é positivo ou negativo.
Observando a expressão original, à medida que se aproxima de 1 pela direita (já que está dentro de uma raiz quadrada), o numerador é positivo e o denominador também é positivo. Portanto, o limite tende a .

Resposta

lim x 1 raizx-1raiz2 x+3-raiz5 = +infty

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