Calcule os limises: lim x -2 x^4+4 x^3+x^2-82 x-122 x^3+7 x^2+4 x-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular:
limx to -2 x^4 + 4x^3 + x^2 - 82x - 122x^3 + 7x^2 + 4x - 4
Primeiro, estamos lidando com limites de funções racionais, que envolvem polinômios no numerador e denominador. Para resolver, vamos precisar verificar se o limite dá uma forma indeterminada (como 0/0) e, se sim, aplicar técnicas como fatoração ou a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Vamos começar substituindo (-2)^4 + 4(-2)^3 + (-2)^2 - 82(-2) - 12 = 16 + (-32) + 4 + 164 - 12 = 140 diretamente na função para ver se obtemos uma forma indeterminada.
Numerador:
2(-2)^3 + 7(-2)^2 + 4(-2) - 4 = 2(-8) + 7(4) + (-8) - 4 = -16 + 28 - 8 - 4 = 0
Denominador:
O numerador dá 140 e o denominador dá 0, o que sugere que o limite tende para . Mas vamos analisar mais a fundo para determinar o comportamento.

Passo 3

Como o denominador se aproxima de 0, precisamos verificar o sinal do denominador quando 2(-2.1)^3 + 7(-2.1)^2 + 4(-2.1) - 4 approx 2(-9.261) + 7(4.41) - 8.4 - 4 approx -18.522 + 30.87 - 8.4 - 4 approx 0 se aproxima de -2 pela esquerda e pela direita.
Vamos escolher valores próximos a -2, por exemplo, 2(-1.9)^3 + 7(-1.9)^2 + 4(-1.9) - 4 approx 2(-6.859) + 7(3.61) - 7.6 - 4 approx -13.718 + 25.27 - 7.6 - 4 approx 0 e .
Para :
Denominador:
Mas mais precisamente, o resultado será ligeiramente positivo.
Para :
Denominador:
Neste caso, o resultado será ligeiramente negativo.

Passo 4

Observamos que:
  • Ao se aproximar de -2 pela esquerda ( ), o denominador é positivo.
  • Ao se aproximar de -2 pela direita ( ), o denominador é negativo.
Como o numerador é positivo ( ), o limite será:
  • pela esquerda.
  • pela direita.

Resposta

Como os limites laterais são divergentes, o limite geral não existe. Portanto,
limx to -2 x^4 + 4x^3 + x^2 - 82x - 122x^3 + 7x^2 + 4x - 4 não existe ã

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