Considere duas variáveis aleatórias contínuas, X e Y. Se z=f(x, y) é uma densidade de probabilidade conjunta conhecida, então a probabilidade de X e Y assumirem os valores a< X e c é dado por:
P(a
Os valores esperados para X e Y é dado por:
mux=integral-infty^infty integral-infty^infty x f(x, y) d y d x e muy=integral-infty^infty integral-infty^infty y f(x, y) d y d x
Sabendo que,
f(x, y)=ll 0,1 e^-(0,5 x+0,2 y), & se x, y >= 0 0, & caso contrário á
Encontre mux e muy.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar os valores esperados (ou seja, as médias) das variáveis aleatórias contínuas e . A gente tem a função de densidade de probabilidade conjunta que descreve como e se comportam juntos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de integração dupla para calcular as médias e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o valor esperado. Para uma variável aleatória contínua, o valor esperado mux = integral0^infty integral0^infty x cdot f(x, y) , dy , dx de muy = integral0^infty integral0^infty y cdot f(x, y) , dy , dx é calculado integrando vezes a função de densidade ao longo de todo o espaço possível de e . A mesma ideia vale para . Então, temos:

Passo 3

Vamos calcular f(x, y) = 0,1 cdot e^- (0,5x + 0,2y) para x, y >= 0 primeiro. A função de densidade dada é:
mux = integral0^infty integral0^infty x cdot 0,1 cdot e^- (0,5x + 0,2y) , dy , dx
Substituindo na expressão de :

Passo 4

Vamos integrar em relação a integral0^infty e^-0,2y , dy = [ 10,2 e^-0,2y ]0^infty = 10,2 (0 - 1) = 10,2 = 5 primeiro. Note que a parte que envolve é , cuja integral indefinida é . Então:

Passo 5

Substituindo o resultado da integral de mux = integral0^infty x cdot 0,1 cdot e^-0,5x cdot 5 , dx = integral0^infty x cdot 0,5 cdot e^-0,5x , dx na expressão de :

Passo 6

Agora, precisamos integrar integral0^infty x cdot e^-ax , dx = 1a^2 em relação a integral0^infty x cdot e^-0,5x , dx = 1(0,5)^2 = 4 . Sabemos que:
mux = 0,5 cdot 4 = 2
Aqui, , então:
Multiplicando pelo coeficiente :

Passo 7

Agora vamos calcular muy = integral0^infty integral0^infty y cdot 0,1 cdot e^- (0,5x + 0,2y) , dy , dx . A expressão é similar:
integral0^infty e^-0,5x , dx = [ 10,5 e^-0,5x ]0^infty = 10,5 (0 - 1) = 10,5 = 2
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 8

Substituindo esse resultado na expressão de muy = integral0^infty y cdot 0,1 cdot e^-0,2y cdot 2 , dy = integral0^infty y cdot 0,2 cdot e^-0,2y , dy :

Passo 9

Agora, integramos integral0^infty y cdot e^-0,2y , dy = 1(0,2)^2 = 25 em relação a muy = 0,2 cdot 25 = 5 :
Multiplicando pelo coeficiente :

Resposta

Os valores esperados são e .

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