Considere duas variáveis aleatórias contínuas, X e Y. Se
é uma densidade de probabilidade conjunta conhecida, então a probabilidade de X e Y assumirem os valores
e
é dado por:
Os valores esperados para X e Y é dado por:
Sabendo que,
Encontre
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar os valores esperados (ou seja, as médias) das variáveis aleatórias contínuas
e
. A gente tem a função de densidade de probabilidade conjunta
que descreve como
e
se comportam juntos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de integração dupla para calcular as médias
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o valor esperado. Para uma variável aleatória contínua, o valor esperado
de
é calculado integrando
vezes a função de densidade ao longo de todo o espaço possível de
e
. A mesma ideia vale para
. Então, temos:
Passo 3
Vamos calcular
primeiro. A função de densidade dada é:
Substituindo na expressão de
:
Passo 4
Vamos integrar em relação a
primeiro. Note que a parte que envolve
é
, cuja integral indefinida é
. Então:
Passo 5
Substituindo o resultado da integral de
na expressão de
:
Passo 6
Agora, precisamos integrar
em relação a
. Sabemos que:
Aqui,
, então:
Multiplicando pelo coeficiente
:
Passo 7
Agora vamos calcular
. A expressão é similar:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 8
Substituindo esse resultado na expressão de
:
Passo 9
Agora, integramos
em relação a
:
Multiplicando pelo coeficiente
:
Resposta
Os valores esperados são
e
.
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(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)