Considere duas variáveis aleatórias contínuas, X e Y. Se é uma densidade de probabilidade conjunta conhecida, então a probabilidade de X e Y assumirem os valores e é dado por:
Os valores esperados para X e Y é dado por:
Sabendo que,
á
Encontre e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar os valores esperados (ou seja, as médias) das variáveis aleatórias contínuas e . A gente tem a função de densidade de probabilidade conjunta que descreve como e se comportam juntos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de integração dupla para calcular as médias e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o valor esperado. Para uma variável aleatória contínua, o valor esperado de é calculado integrando vezes a função de densidade ao longo de todo o espaço possível de e . A mesma ideia vale para . Então, temos:

Passo 3

Vamos calcular primeiro. A função de densidade dada é:
Substituindo na expressão de :

Passo 4

Vamos integrar em relação a primeiro. Note que a parte que envolve é , cuja integral indefinida é . Então:

Passo 5

Substituindo o resultado da integral de na expressão de :

Passo 6

Agora, precisamos integrar em relação a . Sabemos que:
Aqui, , então:
Multiplicando pelo coeficiente :

Passo 7

Agora vamos calcular . A expressão é similar:
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 8

Substituindo esse resultado na expressão de :

Passo 9

Agora, integramos em relação a :
Multiplicando pelo coeficiente :

Resposta

Os valores esperados são e .

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(a)
(b)
©
(d)