Calcule o limite lim x -infty raiz3(x^3-1)2 x^3+2 x^2+raiz3 x-e. Existem assíntotas verticais ou horizontais? Em caso afirmativo escreva a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x -infty raiz3(x^3-1)2 x^3+2 x^2+raiz3 x-e. Além disso, vamos verificar se existem assíntotas verticais ou horizontais. Para isso, vamos utilizar conhecimentos de limites de funções polinomiais e de assíntotas em cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite quando lim x -infty raiz3x^32x^3 = raiz32 tende a . Observe que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de terceiro grau. Nesses casos, os termos de maior grau dominam o comportamento da função.
No numerador, o termo de maior grau é e no denominador é . Então, podemos simplificar o limite considerando apenas esses termos:

Passo 3

Agora, vamos verificar as assíntotas.
Assíntotas Horizontais:
Assíntotas horizontais ocorrem quando o limite da função tende a um valor constante à medida que vai para ou . Já calculamos o limite quando tende a e encontramos que é igual a . Portanto, existe uma assíntota horizontal nessa direção.
Assíntotas Verticais:
Assíntotas verticais acontecem quando o denominador se aproxima de zero enquanto o numerador não se anula, fazendo a função tender ao infinito. Para verificar, precisaríamos resolver a equação . No entanto, sem informações adicionais sobre as raízes dessa equação, não podemos afirmar a existência de assíntotas verticais.

Resposta

O limite é igual a e há uma assíntota horizontal dada pela equação .

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