Calcule o limite
. Existem assíntotas verticais ou horizontais? Em caso afirmativo escreva a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Além disso, vamos verificar se existem assíntotas verticais ou horizontais. Para isso, vamos utilizar conhecimentos de limites de funções polinomiais e de assíntotas em cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o limite quando
tende a
. Observe que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de terceiro grau. Nesses casos, os termos de maior grau dominam o comportamento da função.
No numerador, o termo de maior grau é
e no denominador é
. Então, podemos simplificar o limite considerando apenas esses termos:
Passo 3
Agora, vamos verificar as assíntotas.
Assíntotas Horizontais:
Assíntotas horizontais ocorrem quando o limite da função tende a um valor constante à medida que
vai para
ou
. Já calculamos o limite quando
tende a
e encontramos que é igual a
. Portanto, existe uma assíntota horizontal nessa direção.
Assíntotas Verticais:
Assíntotas verticais acontecem quando o denominador se aproxima de zero enquanto o numerador não se anula, fazendo a função tender ao infinito. Para verificar, precisaríamos resolver a equação
. No entanto, sem informações adicionais sobre as raízes dessa equação, não podemos afirmar a existência de assíntotas verticais.
Resposta
O limite é igual a
e há uma assíntota horizontal dada pela equação
.