Calcule os limites abaixo, se existirem. Caso não existam, justifique
lim (x, y) (0,0) x^2 ln (1+|x y|)raizx^4+y^6

Passo 1

Resumo do enunciado: Queremos calcular o limite da função de duas variáveis quando (x, y) se aproxima de (0,0). O conteúdo envolve limites em várias variáveis, propriedades de funções logarítmicas e radicais, além do uso de desigualdades para estimar o comportamento da função. Vamos precisar aplicar o Teorema do Squeeze (ou Teorema do Aperto) para resolver.

Passo 2

Analisando a função: A função dada é
x^2 ln (1 + |x y|)raizx^4 + y^6
Como (x, y) tende a (0,0), tanto x quanto y estão se aproximando de zero. Precisamos entender como cada parte da função se comporta nesse limite.

Passo 3

Simplificando o logaritmo: Sabemos que, para valores pequenos de z, temos a aproximação:
ln(1 + z) approx z
Aplicando isso na nossa função, onde ln(1 + |x y|) approx |x y| , temos:

Passo 4

Substituindo na função: Com a aproximação, a função fica:
x^2 cdot |x y|raizx^4 + y^6 = |x^3 y|raizx^4 + y^6

Passo 5

Estabelecendo uma desigualdade: Para aplicar o Teorema do Squeeze, vamos encontrar uma forma de limitar a função. Observamos que:
|x^3 y| <= |x|^3 |y|
E para o denominador:
raizx^4 + y^6 >= raizy^6 = |y|^3

Passo 6

Criando um limite superior: Com as desigualdades acima, temos:
|x^3 y|raizx^4 + y^6 <= |x|^3 |y||y|^3 = |x|^3|y|^2

Passo 7

Analisando o limite superior: Para que o limite original seja zero, precisamos que:
|x|^3|y|^2 to 0 quando (x, y) to (0,0)
Isso ocorrerá se o numerador tender a zero mais rápido que o denominador .

Passo 8

Escolhendo um caminho específico: Vamos considerar caminhos onde |x|^3|x^k|^2 = |x|^3 - 2k , com . Substituindo na expressão:
Para que esse termo tenda a zero, precisamos que , ou seja, .

Passo 9

Conclusão sobre o limite: Como para qualquer caminho com o limite tende a zero, e considerando que o limite é o mesmo independentemente do caminho escolhido, podemos concluir que o limite existe e é igual a zero.

Resposta

O limite existe e é igual a 0.

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