Calcule os limites abaixo, se existirem. Caso não existam, justifique
Passo 1
Resumo do enunciado: Queremos calcular o limite da função de duas variáveis quando (x, y) se aproxima de (0,0). O conteúdo envolve limites em várias variáveis, propriedades de funções logarítmicas e radicais, além do uso de desigualdades para estimar o comportamento da função. Vamos precisar aplicar o Teorema do Squeeze (ou Teorema do Aperto) para resolver.
Passo 2
Analisando a função: A função dada é
Como (x, y) tende a (0,0), tanto x quanto y estão se aproximando de zero. Precisamos entender como cada parte da função se comporta nesse limite.
Passo 3
Simplificando o logaritmo: Sabemos que, para valores pequenos de z, temos a aproximação:
Aplicando isso na nossa função, onde
, temos:
Passo 4
Substituindo na função: Com a aproximação, a função fica:
Passo 5
Estabelecendo uma desigualdade: Para aplicar o Teorema do Squeeze, vamos encontrar uma forma de limitar a função. Observamos que:
E para o denominador:
Passo 6
Criando um limite superior: Com as desigualdades acima, temos:
Passo 7
Analisando o limite superior: Para que o limite original seja zero, precisamos que:
Isso ocorrerá se o numerador
tender a zero mais rápido que o denominador
.
Passo 8
Escolhendo um caminho específico: Vamos considerar caminhos onde
, com
. Substituindo na expressão:
Para que esse termo tenda a zero, precisamos que
, ou seja,
.
Passo 9
Conclusão sobre o limite: Como para qualquer caminho
com
o limite tende a zero, e considerando que o limite é o mesmo independentemente do caminho escolhido, podemos concluir que o limite existe e é igual a zero.
Resposta
O limite existe e é igual a 0.