Mostre que cada uma das equações abaixo é homogênea, em seguida resolva-as:
d y/d t = (t^2 + 3 y^2) / (2 t y);

Passo 1

Beleza, vamos olhar esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial que precisa mostrar que ela é homogênea e depois resolver. O conteúdo aqui é sobre equações diferenciais homogêneas, que são tipo aquelas equações onde as variáveis podem ser combinadas numa única variável através de uma substituição. Para resolver, vamos precisar entender como identificar a homogeneidade e aplicar a substituição certa.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é homogênea. A equação dada é:
Uma equação diferencial é homogênea se podemos escrever a função do lado direito como uma função de . Vamos ver se isso é possível aqui.

Passo 3

Vamos expressar a parte direita da equação em termos de :
Agora, substituindo , onde , podemos reescrever a equação.

Passo 4

Vamos substituir na equação. Primeiro, derivamos em relação a :
Agora, substituímos e na equação original:

Passo 5

Agora, temos uma equação em termos de e :
Vamos rearranjar para isolar :

Passo 6

Separando as variáveis e :
Agora, integrando ambos os lados:

Passo 7

Calculando as integrais:
A integral do lado esquerdo:
A integral do lado direito:
Podemos combinar as constantes e em uma única constante :

Passo 8

Vamos resolver para :
Primeiro, exponenciamos ambos os lados para eliminar os logaritmos:
Onde é uma constante.
Agora, substituímos :
Multiplicando tudo por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde é uma constante arbitrária.

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