Mostre que cada uma das equações abaixo é homogênea, em seguida resolva-as:
;
Passo 1
Beleza, vamos olhar esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial que precisa mostrar que ela é homogênea e depois resolver. O conteúdo aqui é sobre equações diferenciais homogêneas, que são tipo aquelas equações onde as variáveis podem ser combinadas numa única variável através de uma substituição. Para resolver, vamos precisar entender como identificar a homogeneidade e aplicar a substituição certa.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é homogênea. A equação dada é:
Uma equação diferencial é homogênea se podemos escrever a função do lado direito como uma função de
. Vamos ver se isso é possível aqui.
Passo 3
Vamos expressar a parte direita da equação em termos de
:
Agora, substituindo
, onde
, podemos reescrever a equação.
Passo 4
Vamos substituir
na equação. Primeiro, derivamos
em relação a
:
Agora, substituímos
e
na equação original:
Passo 5
Agora, temos uma equação em termos de
e
:
Vamos rearranjar para isolar
:
Passo 6
Separando as variáveis
e
:
Agora, integrando ambos os lados:
Passo 7
Calculando as integrais:
A integral do lado esquerdo:
A integral do lado direito:
Podemos combinar as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 8
Vamos resolver para
:
Primeiro, exponenciamos ambos os lados para eliminar os logaritmos:
Onde
é uma constante.
Agora, substituímos
:
Multiplicando tudo por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde
é uma constante arbitrária.