Calcule os limites abaixo, se existirem. Caso não existam, justifique
lim (x, y) (0,0) x^5+11 x y-y^4x^4+7 x^2 y^4+y^6

Passo 1

Vamos resolver o limite . Este exercício está relacionado ao estudo de limites de funções de duas variáveis, especificamente quando se aproxima de . Para resolver, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o caminho em que f(0, y) = 0^5 + 11 cdot 0 cdot y - y^40^4 + 7 cdot 0^2 cdot y^4 + y^6 = -y^4y^6 = -1y^2 . Substituindo na função:
À medida que se aproxima de 0, tende a .

Passo 3

Agora, vamos considerar o caminho em que f(x, 0) = x^5 + 11 cdot x cdot 0 - 0^4x^4 + 7 cdot x^2 cdot 0^4 + 0^6 = x^5x^4 = x . Substituindo na função:
À medida que se aproxima de 0, tende a 0.

Passo 4

Observamos que ao nos aproximarmos de pelo caminho , o limite tende a , enquanto pelo caminho , o limite tende a 0. Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido para se aproximar de , podemos concluir que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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