Calcule os limites abaixo, se existirem. Caso não existam, justifique
Passo 1
Primeiro, vamos entender a questão. Precisamos calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que facilitam a análise de limites em duas variáveis.
Passo 2
Em coordenadas polares, substituímos
e
por
e
, respectivamente, onde
é a distância até a origem e
é o ângulo. Isso transforma nossa função em termos de
e
.
Passo 3
Vamos substituir
e
na função:
Passo 4
Simplificando o numerador:
Então, o numerador fica:
Passo 5
Simplificando o denominador:
Passo 6
Nossa função agora fica:
Passo 7
Agora, analisamos o limite quando
. Observe que
está multiplicando tudo, e os termos envolvendo
são limitados (não se tornam infinitos). Então, conforme
se aproxima de 0, todo o produto se aproxima de 0.
Resposta
O limite é 0.