Calcule os limites abaixo, se existirem. Caso não existam, justifique
lim (x, y) (0,0) x^3-2 x y^2x^2+y^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender a questão. Precisamos calcular o limite da função quando se aproxima de . Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que facilitam a análise de limites em duas variáveis.

Passo 2

Em coordenadas polares, substituímos e por e , respectivamente, onde é a distância até a origem e é o ângulo. Isso transforma nossa função em termos de e .

Passo 3

Vamos substituir x^3-2 x y^2x^2+y^2 = (rcos(theta))^3 - 2(rcos(theta))(rsin(theta))^2(rcos(theta))^2 + (rsin(theta))^2 e na função:

Passo 4

Simplificando o numerador:
(rcos(theta))^3 = r^3cos^3(theta)
2(rcos(theta))(rsin(theta))^2 = 2r^3cos(theta)sin^2(theta)
Então, o numerador fica:
r^3cos^3(theta) - 2r^3cos(theta)sin^2(theta) = r^3cos(theta)(cos^2(theta) - 2sin^2(theta))

Passo 5

Simplificando o denominador:
(rcos(theta))^2 + (rsin(theta))^2 = r^2cos^2(theta) + r^2sin^2(theta) = r^2(cos^2(theta) + sin^2(theta)) = r^2

Passo 6

Nossa função agora fica:
r^3cos(theta)(cos^2(theta) - 2sin^2(theta))r^2 = rcos(theta)(cos^2(theta) - 2sin^2(theta))

Passo 7

Agora, analisamos o limite quando . Observe que está multiplicando tudo, e os termos envolvendo são limitados (não se tornam infinitos). Então, conforme se aproxima de 0, todo o produto se aproxima de 0.

Resposta

O limite é 0.

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