Calcule os limites abaixo:
lim (x, y) (0,0) x y(x^2-y^2)x^2+y^2.

Passo 1

Vamos resolver o limite . Este exercício envolve cálculo de limites em duas variáveis, especificamente utilizando conceitos de análise de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como analisar o comportamento da função à medida que se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão. A função dada é . Podemos observar que o numerador é um produto de e , enquanto o denominador é .

Passo 3

Para facilitar a análise do limite, podemos usar coordenadas polares, onde e , com . Isso nos ajuda a expressar a função em termos de e , simplificando o cálculo do limite quando tende a 0.

Passo 4

Substituindo (r costheta)(r sintheta)((r costheta)^2 - (r sintheta)^2)r^2 e r costheta cdot r sintheta cdot (r^2 cos^2theta - r^2 sin^2theta) = r^4 costheta sintheta (cos^2theta - sin^2theta) por suas expressões em coordenadas polares:
Simplificando o numerador:

Passo 5

Agora, substituímos de volta na função:
r^4 costheta sintheta (cos^2theta - sin^2theta)r^2 = r^2 costheta sintheta (cos^2theta - sin^2theta)
Podemos ver que a expressão depende de multiplicado por termos que são limitados quando tende a 0.

Passo 6

À medida que , . Os termos , , e são, no máximo, iguais a 1 em valor absoluto. Portanto, o produto inteiro tende a 0.

Resposta

O limite é igual a .

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