Calcule os limites abaixo:
.
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Este exercício envolve cálculo de limites em duas variáveis, especificamente utilizando conceitos de análise de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como analisar o comportamento da função à medida que
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão. A função dada é
. Podemos observar que o numerador é um produto de
e
, enquanto o denominador é
.
Passo 3
Para facilitar a análise do limite, podemos usar coordenadas polares, onde
e
, com
. Isso nos ajuda a expressar a função em termos de
e
, simplificando o cálculo do limite quando
tende a 0.
Passo 4
Substituindo
e
por suas expressões em coordenadas polares:
Simplificando o numerador:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na função:
Podemos ver que a expressão depende de
multiplicado por termos que são limitados quando
tende a 0.
Passo 6
À medida que
,
. Os termos
,
,
e
são, no máximo, iguais a 1 em valor absoluto. Portanto, o produto inteiro tende a 0.
Resposta
O limite é igual a
.