Verifique a continuidade das funções abaixo no ponto (0,0).
f(x, y)=rllx y cos y3 x^2+y^2 & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se & (x, y)=(0,0)

Passo 1

Então, a gente tem uma função que muda de expressão dependendo se é igual a ou não. O objetivo aqui é ver se essa função é contínua no ponto . Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como verificar isso usando limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Basicamente, para ser contínua em , o limite de quando se aproxima de precisa ser igual ao valor de . No nosso caso, .

Passo 3

Então, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de . Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde e . Isso ajuda a simplificar a expressão e ver como o limite se comporta conforme tende a zero.

Passo 4

Substituindo f(r, theta) = (r cos theta)(r sin theta) cos(r sin theta)3 (r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 e f(r, theta) = r^2 cos theta sin theta cos(r sin theta)3 r^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta = r^2 cos theta sin theta cos(r sin theta)r^2 (3 cos^2 theta + sin^2 theta) por f(r, theta) = cos theta sin theta cos(r sin theta)3 cos^2 theta + sin^2 theta e , a função fica:
Simplificando, temos:
Podemos cancelar no numerador e denominador:

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite quando limr to 0 f(r, theta) = cos theta sin theta cdot 13 cos^2 theta + sin^2 theta = cos theta sin theta3 cos^2 theta + sin^2 theta tende a zero. Note que tende a quando tende a zero. Então, o limite da função fica:
Observamos que esse limite depende do ângulo , ou seja, pode variar dependendo do caminho que a gente escolhe para se aproximar de .

Passo 6

Para a função ser contínua em cos theta sin theta3 cos^2 theta + sin^2 theta = cos 0 cdot 03 cos^2 0 + 0 = 0 , o limite deve ser o mesmo independente do caminho escolhido. Vamos verificar dois caminhos diferentes:
  1. Caminho ao longo do eixo cos 45^circ sin 45^circ3 cos^2 45^circ + sin^2 45^circ = raiz22 cdot raiz223 cdot 12 + 12 = 1232 + 12 = 122 = 14 (quando ):
  1. Caminho ao longo da reta (quando ):

Resposta

Como o limite depende do caminho e não é único, a função não é contínua no ponto .

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