Verifique a continuidade das funções abaixo no ponto
.
Passo 1
Então, a gente tem uma função
que muda de expressão dependendo se
é igual a
ou não. O objetivo aqui é ver se essa função é contínua no ponto
. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como verificar isso usando limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Basicamente, para
ser contínua em
, o limite de
quando
se aproxima de
precisa ser igual ao valor de
. No nosso caso,
.
Passo 3
Então, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde
e
. Isso ajuda a simplificar a expressão e ver como o limite se comporta conforme
tende a zero.
Passo 4
Substituindo
e
por
e
, a função fica:
Simplificando, temos:
Podemos cancelar
no numerador e denominador:
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite quando
tende a zero. Note que
tende a
quando
tende a zero. Então, o limite da função fica:
Observamos que esse limite depende do ângulo
, ou seja, pode variar dependendo do caminho que a gente escolhe para se aproximar de
.
Passo 6
Para a função ser contínua em
, o limite deve ser o mesmo independente do caminho escolhido. Vamos verificar dois caminhos diferentes:
- Caminho ao longo do eixo
(quando ):
- Caminho ao longo da reta
(quando ):
Resposta
Como o limite depende do caminho e não é único, a função
não é contínua no ponto
.