Calcule os limites, se existirem. Caso não existirem, justifique. lim x infty 3 x^2+5 x-32 x^2+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x infty 3 x^2+5 x-32 x^2+1. Estamos trabalhando com limites de funções racionais quando x vai para o infinito. Para isso, vamos precisar entender como os termos de maior grau (no caso, x^2) dominam o comportamento da função conforme x cresce muito.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador da fração. No numerador, o termo de maior grau é 3x^2 e no denominador é 2x^2.

Passo 3

Agora, vamos fatorar x^2 tanto no numerador quanto no denominador para simplificar a expressão:
3x^2+5x-32x^2+1 = x^2(3 + 5x - 3x^2)x^2(2 + 1x^2)

Passo 4

Depois de fatorar x^2, podemos cancelar esse termo no numerador e no denominador:
x^2(3 + 5x - 3x^2)x^2(2 + 1x^2) = 3 + 5x - 3x^22 + 1x^2

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento de cada termo conforme x tende para o infinito. Note que 5x e 3x^2 vão para 0, assim como 1x^2 no denominador:
lim x infty 3 + 5x - 3x^22 + 1x^2 = 3 + 0 - 02 + 0 = 32

Resposta

O limite é 32.

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