Calcule os limites, se existirem. Caso não existirem, justifique. lim x infty 2 x^2+4 x3 x+4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que pede para calcular . Isso está dentro de um conteúdo que envolve limites no infinito e o comportamento de funções racionais quando tende ao infinito. Para resolver, vamos precisar entender como os termos de maior grau das funções no numerador e no denominador influenciam o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, o termo de maior grau é , e no denominador, é . Quando vai para o infinito, esses termos dominam o comportamento da função.

Passo 3

Agora, para simplificar o limite, vamos dividir todos os termos do numerador e do denominador pelo maior grau de limx to infty 2x^2 + 4x3x + 4 = limx to infty 2x^2/x + 4x/x3x/x + 4/x = limx to infty 2x + 43 + 4x presente no denominador, que nesse caso é . Isso nos ajuda a simplificar a expressão e facilitar o cálculo do limite:

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece com cada termo conforme tende ao infinito:
  • no numerador tende ao infinito.
  • no numerador permanece 4.
  • no denominador permanece 3.
  • no denominador tende a 0, porque qualquer número dividido por um número cada vez maior tende a zero.

Passo 5

Substituindo essas observações na expressão simplificada, temos:
limx to infty 2x + 43 + 0 = limx to infty 2x + 43

Passo 6

Agora, percebemos que domina o numerador conforme cresce, então a expressão tende ao infinito, já que o numerador cresce sem limite enquanto o denominador permanece constante.

Resposta

O limite é .

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