Calcule: lim x 0 sen(x^2)1-cos x

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Para isso, vamos usar conceitos de limites e algumas propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando se aproxima de 0:
  • Numerador: . Sabemos que , então tende a 0 quando tende a 0.
  • Denominador: . Como , também tende a 0 quando tende a 0.
Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo , o que significa que podemos aplicar a Regra de L’Hospital para resolver o limite.

Passo 3

A Regra de L’Hospital diz que se temos um limite no formato ddx sin(x^2) = 2x cos(x^2) ou ddx (1 - cos x) = sin x , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas.
Vamos derivar:
  • Derivada do numerador :
    Aqui usamos a regra da cadeia, onde a derivada de é .
  • Derivada do denominador :
    A derivada de é .

Passo 4

Agora, substituímos as derivadas no limite:
limx to 0 2x cos(x^2)sin x

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:
  1. Sabemos que limx to 0 2x cdot 1x = limx to 0 2 = 2 tende a 1 quando tende a 0, pois .
  2. Também sabemos que para valores de próximos de 0.
Substituindo essas aproximações:

Resposta

O limite é 2.

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