Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 0 da expressão
. Para isso, vamos usar conceitos de limites e algumas propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando
se aproxima de 0:
- Numerador:
. Sabemos que , então tende a 0 quando tende a 0. - Denominador:
. Como , também tende a 0 quando tende a 0.
Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo
, o que significa que podemos aplicar a Regra de L’Hospital para resolver o limite.
Passo 3
A Regra de L’Hospital diz que se temos um limite no formato
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas.
Vamos derivar:
-
Derivada do numerador
: Aqui usamos a regra da cadeia, onde a derivada deé . -
Derivada do denominador
: A derivada deé .
Passo 4
Agora, substituímos as derivadas no limite:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão:
- Sabemos que
tende a 1 quando tende a 0, pois . - Também sabemos que
para valores de próximos de 0.
Substituindo essas aproximações:
Resposta
O limite é 2.