Calcule os limites : k) $ \lim _{v \rightarrow 0} \frac{v^{3}-2 v}{\operatorname{sen}(5 v)}$

Passo 1

O exercício pede para calcular o limite:
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com limites, uma das bases do cálculo diferencial. Para resolver esse tipo de limite, especialmente quando tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero, usamos técnicas como a regra de L’Hôpital e as propriedades dos limites das funções trigonométricas.
O que vamos precisar:
  • Conhecimento sobre limites básicos.
  • Propriedades de funções trigonométricas, especialmente .
  • A regra de L’Hôpital, que nos ajuda a resolver limites que resultam em formas indeterminadas como limv 0 v^3 - 2vsen(5v) .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir 0^3 - 2 cdot 0sen(5 cdot 0) = 0 - 0sen(0) = 00 diretamente na expressão para ver se resulta em uma forma indeterminada:
Como obtemos , que é uma forma indeterminada, precisamos aplicar técnicas para resolver esse limite.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dividindo o numerador por v^3 - 2vsen(5v) = v(v^2 - 2)sen(5v) :
Agora, reescrevemos o limite:

Passo 4

Sabemos que . Vamos manipular nossa expressão para usar essa propriedade:
Assim, nosso limite fica:

Passo 5

Aplicando a propriedade , temos:
Substituindo de volta na expressão:
limv 0 5vsen(5v) = 1 implies limv 0 vsen(5v) = 15

Resposta

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