Calcule os limites : i) $ \lim _{y \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{2 y^{3}+5 y^{2}}$
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite quando
se aproxima de 0 da expressão
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de limites e, especificamente, a Regra de L’Hôpital, que é útil quando nos deparamos com formas indeterminadas como
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos
na expressão:
Como obtemos uma forma indeterminada
, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que se temos
ou
, então:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador.
Derivada do numerador
:
Derivada do denominador
:
Passo 4
Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital, substituímos as derivadas na expressão do limite:
Vamos verificar novamente substituindo
:
Ainda temos a forma indeterminada
, então aplicamos a Regra de L’Hôpital mais uma vez.
Passo 5
Calculamos as segundas derivadas do numerador e do denominador.
Segunda derivada do numerador:
Segunda derivada do denominador:
Agora, substituímos novamente no limite:
Substituindo
:
Não temos mais uma forma indeterminada, então esse é o valor do limite.
Resposta
O limite é
.