Calcule os limites : i) $ \lim _{y \rightarrow 0} \frac{1-\cos y}{2 y^{3}+5 y^{2}}$

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de limites e, especificamente, a Regra de L’Hôpital, que é útil quando nos deparamos com formas indeterminadas como .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos na expressão:
Como obtemos uma forma indeterminada , podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que se temos ou , então:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador.
Derivada do numerador :
Derivada do denominador :

Passo 4

Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital, substituímos as derivadas na expressão do limite:
Vamos verificar novamente substituindo :
Ainda temos a forma indeterminada , então aplicamos a Regra de L’Hôpital mais uma vez.

Passo 5

Calculamos as segundas derivadas do numerador e do denominador.
Segunda derivada do numerador:
Segunda derivada do denominador:
Agora, substituímos novamente no limite:
Substituindo :
Não temos mais uma forma indeterminada, então esse é o valor do limite.

Resposta

O limite é .

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