Calcule os limites : j) $ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (2 x)}{1-\cos (4 x)}$

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Vamos usar conhecimentos de limites e trigonometria para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica útil:
1 - cos(a) = 2 sin^2(a2)
Isso ajuda a simplificar a expressão. Aplicando isso ao numerador e denominador:
1 - cos(2x) = 2 sin^2(x)
1 - cos(4x) = 2 sin^2(2x)
Então, a expressão original fica:
2 sin^2(x)2 sin^2(2x) = sin^2(x)sin^2(2x)

Passo 3

Agora, sabemos que sin^2(2x) = [2 sin(x) cos(x)]^2 = 4 sin^2(x) cos^2(x) . Elevando ao quadrado:
sin^2(x)4 sin^2(x) cos^2(x) = 14 cos^2(x)
Substituindo de volta na expressão:

Passo 4

Finalmente, vamos calcular o limite quando limx to 0 14 cos^2(x) se aproxima de 0:
14 cos^2(0) = 14 times 1 = 14
Sabemos que , então:

Resposta

O limite é .

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