Calcule os limites:
lim x 0^+ sen^2(x)x^4-x^3 -infty

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite da função lim x 0^+ sen^2(x)x^4-x^3. Aqui, estamos trabalhando com limites, um conceito fundamental em Cálculo que nos ajuda a entender o comportamento das funções perto de certos pontos. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções senoidal e polinomial se comportam quando x se aproxima de 0 pelo lado positivo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente quando x se aproxima de 0. Sabemos que sen(x) tende a 0 conforme x tende a 0, então sen^2(x) também tende a 0. No denominador, temos x^4 - x^3. Como x está próximo de 0, os termos com potências mais altas de x (como x^4) se tornam muito pequenos em comparação com os de potências menores.

Passo 3

Vamos simplificar o denominador para entender melhor: x^4 - x^3 = x^3(x - 1). Quando x se aproxima de 0 pelo lado positivo, x é positivo e pequeno, então x - 1 será negativo (já que 0 - 1 = -1). Portanto, o denominador x^3(x - 1) será negativo.

Passo 4

Agora, substituindo esses comportamentos no limite, temos que o numerador está tendendo a 0 e o denominador está tendendo a um número negativo que se aproxima de 0. Isso significa que a fração está se tornando uma forma 0-0, mas precisamos olhar mais de perto.

Passo 5

Podemos reescrever a expressão para facilitar a análise:
sen^2(x)x^4-x^3 = sen^2(x)x^3(x - 1)
Sabemos que para x próximo de 0, sen(x) approx x, então sen^2(x) approx x^2. Substituindo isso na expressão:
x^2x^3(x - 1) = 1x(x - 1)

Passo 6

Agora, avaliando o limite de 1x(x - 1) quando x tende a 0 pelo lado positivo:
  • x tende a 0 positivo, então x é pequeno e positivo.
  • (x - 1) tende a -1.
Portanto, a expressão se aproxima de:
10^+ times (-1) = 1-0^+ = -infty

Resposta

O limite é igual a -infty.

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