Calcule os limites:
Passo 1
Beleza, vamos calcular o limite da função
. Aqui, estamos trabalhando com limites, um conceito fundamental em Cálculo que nos ajuda a entender o comportamento das funções perto de certos pontos. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções senoidal e polinomial se comportam quando
se aproxima de 0 pelo lado positivo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente quando
se aproxima de 0. Sabemos que
tende a 0 conforme
tende a 0, então
também tende a 0. No denominador, temos
. Como
está próximo de 0, os termos com potências mais altas de
(como
) se tornam muito pequenos em comparação com os de potências menores.
Passo 3
Vamos simplificar o denominador para entender melhor:
. Quando
se aproxima de 0 pelo lado positivo,
é positivo e pequeno, então
será negativo (já que
). Portanto, o denominador
será negativo.
Passo 4
Agora, substituindo esses comportamentos no limite, temos que o numerador está tendendo a 0 e o denominador está tendendo a um número negativo que se aproxima de 0. Isso significa que a fração está se tornando uma forma
, mas precisamos olhar mais de perto.
Passo 5
Podemos reescrever a expressão para facilitar a análise:
Sabemos que para
próximo de 0,
, então
. Substituindo isso na expressão:
Passo 6
Agora, avaliando o limite de
quando
tende a 0 pelo lado positivo:
-
tende a 0 positivo, então é pequeno e positivo. -
tende a .
Portanto, a expressão se aproxima de:
Resposta
O limite é igual a
.