Calcule os limites:
lim x 0 tan ^2(x)x^2 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcularmos o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Esse tipo de problema está relacionado ao conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente aos limites de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como a função tangente se comporta perto de 0 e aplicar algumas propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função tangente pode ser expressa como tan^2(x)x^2 = (sin(x)cos(x))^2x^2 = sin^2(x)x^2 cos^2(x) . Portanto, a expressão que estamos analisando fica assim:
Isso já nos ajuda a separar a expressão em partes mais simples para analisar o limite.

Passo 3

Agora, vamos quebrar o limite original em partes que conhecemos os resultados. Sabemos que:
limx to 0 sin(x)x = 1
Elevando ambos os lados ao quadrado:
limx to 0 (sin(x)x)^2 = 1^2 = 1
Então, temos:
limx to 0 sin^2(x)x^2 = 1

Passo 4

Além disso, sabemos que:
limx to 0 cos(x) = 1
E, consequentemente:
limx to 0 cos^2(x) = 1^2 = 1
Isso nos dá o comportamento da parte do denominador da nossa expressão original.

Passo 5

Agora, voltando à nossa expressão inicial:
sin^2(x)x^2 cos^2(x) = (sin^2(x)x^2) cdot (1cos^2(x))
Podemos separar os limites, já que ambos existem e são finitos:
limx to 0 sin^2(x)x^2 cos^2(x) = (limx to 0 sin^2(x)x^2) cdot (limx to 0 1cos^2(x)) = 1 cdot 1 = 1

Resposta

O limite é igual a .

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