Calcule os limites
lim x 0 1-e^2 xx

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Isso envolve cálculo de limites usando funções exponenciais.

Passo 2

Vamos começar substituindo 1 - e^2 cdot 00 = 1 - 10 = 00 diretamente na expressão para ver se conseguimos encontrar o limite:
Esse resultado é indeterminado, o que significa que não podemos concluir o limite apenas substituindo os valores. Precisamos de outra abordagem.

Passo 3

Quando temos uma forma indeterminada como , uma ferramenta útil é a Regra de L’Hôpital. Essa regra nos diz que podemos calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente.

Passo 4

Vamos encontrar as derivadas do numerador e do denominador:
  • Derivada do numerador ddx(1 - e^2x) = 0 - 2e^2x = -2e^2x :
ddx(x) = 1
  • Derivada do denominador :

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas na expressão do limite:
limx to 0 -2e^2x1 = -2 limx to 0 e^2x

Passo 6

Sabemos que -2 limx to 0 e^2x = -2 cdot 1 = -2 , então:

Resposta

O limite é .

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