Calcule os limites

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites envolvendo funções logarítmicas. Para resolver, vamos precisar entender como as funções logarítmicas se comportam quando cresce para o infinito e como compará-las com funções lineares como o no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento das funções no numerador e no denominador quando tende ao infinito. Sabemos que cresce para infinito conforme aumenta, mas de forma bem mais lenta que qualquer função polinomial como . Agora, temos uma função mais complicada no numerador: . Como ela é uma composição de duas funções logarítmicas, seu crescimento é ainda mais lento que .

Passo 3

Para entender melhor o limite, vamos comparar o crescimento do numerador com o denominador . Sabemos que cresce para infinito muito mais rapidamente que qualquer função logarítmica. Na prática, isso significa que, conforme fica muito grande, o denominador domina o numerador, fazendo com que a fração inteira se aproxime de zero.

Passo 4

Outra forma de ver isso é aplicando a propriedade de que o limite de uma função logarítmica dividida por uma função que cresce mais rapidamente tende a zero. Nesse caso, cresce mais devagar que , então o limite será zero.

Resposta

Portanto, .

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Derive.
Considere a função . Determine:
(a) O domínio da função .
Calcule os limites
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