Calcule a maior área de um triangulo retângulo cujo a soma dos seus catetos é sempre igual a 6 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a maior área de um triângulo retângulo onde a soma dos catetos (os dois lados que formam o ângulo reto) sempre é igual a 6. Vamos usar conceitos de geometria, especificamente sobre triângulos retângulos e otimização de áreas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que em um triângulo retângulo, a área é calculada multiplicando os catetos e dividindo por 2. Se chamarmos os catetos de
e
, temos:
Sabemos que a soma dos catetos é 6, então:
Passo 3
Vamos expressar um dos catetos em função do outro. Por exemplo, vamos isolar
:
Agora, substituímos isso na fórmula da área:
Passo 4
Simplificando a expressão da área:
Passo 5
Para encontrar a maior área possível, precisamos encontrar o valor de
que maximiza essa função. Como é uma parábola com coeficiente negativo em
, o ponto de máximo está no vértice.
A fórmula para encontrar o vértice de uma parábola
é
.
Aqui, nossa função é:
Então,
Passo 6
Agora que sabemos que
, podemos encontrar
:
Passo 7
Com os valores de
e
, calculamos a área máxima:
Resposta
A maior área do triângulo retângulo é de 4,5 unidades de área.
Exercícios relacionados
Encontre os pontos máximos e mínimos (quando existirem) das funções a seguir:
Calcule
, onde
e
é a curva representada pelo segmento orientado de
até
.
Determine os máximos e mínimos globais para:
Calcule a menor área de um triangulo retângulo cujo catetos tem medidas
e
.