Calcule a maior área de um triangulo retângulo cujo a soma dos seus catetos é sempre igual a 6 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a maior área de um triângulo retângulo onde a soma dos catetos (os dois lados que formam o ângulo reto) sempre é igual a 6. Vamos usar conceitos de geometria, especificamente sobre triângulos retângulos e otimização de áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que em um triângulo retângulo, a área é calculada multiplicando os catetos e dividindo por 2. Se chamarmos os catetos de e , temos:
Á
Sabemos que a soma dos catetos é 6, então:

Passo 3

Vamos expressar um dos catetos em função do outro. Por exemplo, vamos isolar :
Agora, substituímos isso na fórmula da área:
Á

Passo 4

Simplificando a expressão da área:
Á

Passo 5

Para encontrar a maior área possível, precisamos encontrar o valor de que maximiza essa função. Como é uma parábola com coeficiente negativo em , o ponto de máximo está no vértice.
A fórmula para encontrar o vértice de uma parábola é .
Aqui, nossa função é:
Á
Então,

Passo 6

Agora que sabemos que , podemos encontrar :

Passo 7

Com os valores de e , calculamos a área máxima:
Á

Resposta

A maior área do triângulo retângulo é de 4,5 unidades de área.

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