Determine os máximos e mínimos globais para:
g(t) = 2*t^3 + 3*t^2 - 12*t + 4 em [0,2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo global da função no intervalo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que ajudam a identificar onde a função atinge seus pontos mais altos e mais baixos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, como ela está subindo ou descendo em cada ponto. A derivada de em relação a é:
Calculando cada termo:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os valores de onde a derivada é igual a zero, ou seja, resolver a equação:
Vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 6:

Passo 4

Para resolver a equação quadrática , usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Substituindo na fórmula:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 5

Como estamos considerando o intervalo , descartamos porque está fora desse intervalo. Assim, temos um ponto crítico em .

Passo 6

Agora, vamos avaliar a função nos pontos críticos e nos extremos do intervalo para encontrar os valores máximos e mínimos.
Calculando em :
Calculando em :
Calculando em :

Passo 7

Comparando os valores obtidos:
  • Em :
  • Em :
  • Em :
O valor máximo é em e o valor mínimo é em .

Resposta

O máximo global é em e o mínimo global é em .

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Calcule a maior área de um triangulo retângulo cujo a soma dos seus catetos é sempre igual a 6 .
Encontre os pontos máximos e mínimos (quando existirem) das funções a seguir:
f(x) = x * raiz(x + 2)
Calcule a menor área de um triangulo retângulo cujo catetos tem medidas x e x + 2.
Determine os máximos e mínimos globais para:
Q(y) = 3 y * (y + 4)^(2 / 3)