Determine os máximos e mínimos globais para:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo global da função
no intervalo
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que ajudam a identificar onde a função atinge seus pontos mais altos e mais baixos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, como ela está subindo ou descendo em cada ponto. A derivada de
em relação a
é:
Calculando cada termo:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os valores de
onde a derivada é igual a zero, ou seja, resolver a equação:
Vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 6:
Passo 4
Para resolver a equação quadrática
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
. Substituindo na fórmula:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 5
Como estamos considerando o intervalo
, descartamos
porque está fora desse intervalo. Assim, temos um ponto crítico em
.
Passo 6
Agora, vamos avaliar a função
nos pontos críticos e nos extremos do intervalo para encontrar os valores máximos e mínimos.
Calculando
em
:
Calculando
em
:
Calculando
em
:
Passo 7
Comparando os valores obtidos:
- Em
: - Em
: - Em
:
O valor máximo é
em
e o valor mínimo é
em
.
Resposta
O máximo global é
em
e o mínimo global é
em
.
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Encontre os pontos máximos e mínimos (quando existirem) das funções a seguir:
Calcule a menor área de um triangulo retângulo cujo catetos tem medidas
e
.
Determine os máximos e mínimos globais para: