Calcule a menor área de um triangulo retângulo cujo catetos tem medidas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a menor área de um triângulo retângulo onde os catetos medem
e
. Isso envolve conhecimentos de geometria, especificamente sobre áreas de triângulos retângulos e otimização.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de um triângulo retângulo. A fórmula é:
Aqui, os catetos
e
são a base e a altura.
Passo 3
Vamos expressar a área em função de
:
Passo 4
Agora, para encontrar a menor área, precisamos analisar essa função. Observamos que é uma função quadrática na forma:
Como o coeficiente de
é positivo (
), a parábola abre para cima, o que significa que o valor mínimo ocorre no vértice da parábola.
Passo 5
A coordenada
do vértice de uma parábola
é dada por:
No nosso caso,
e
. Então:
Passo 6
Mas aqui temos um problema:
representa um comprimento, então não pode ser negativo. Isso significa que a função não tem um mínimo verdadeiro para
; na verdade, a área diminui à medida que
se aproxima de 0.
Resposta
A menor área ocorre quando
se aproxima de 0, fazendo com que a área do triângulo retângulo também se aproxime de 0.
Exercícios relacionados
Determine os máximos e mínimos globais para:
Calcule a maior área de um triangulo retângulo cujo a soma dos seus catetos é sempre igual a 6 .
Determine os máximos e mínimos globais para:
Calcule
, onde
é a curva representada pelo círculo
orientado no sentido anti-horário.