Calcule o módulo de elasticidade E desta espécie de madeira, utilizando os resultados do teste realizado e o Princípio dos Trabalhos Virtuais. Considere o módulo de elasticidade E constante em toda a viga.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Precisamos calcular o módulo de elasticidade
de uma espécie de madeira. Para isso, vamos usar os resultados de um teste que foi feito e aplicar o Princípio dos Trabalhos Virtuais. O módulo de elasticidade é uma medida de quão rígido é um material, ou seja, como ele se deforma quando uma força é aplicada. O Princípio dos Trabalhos Virtuais nos ajuda a relacionar as forças aplicadas com as deformações resultantes de maneira eficiente. Vamos precisar entender um pouco sobre esses conceitos e como eles se conectam para calcular o
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o módulo de elasticidade
. Ele é definido pela relação:
onde:
-
é a tensão aplicada (força por unidade de área), -
é a deformação resultante (mudança relativa no comprimento).
Esse módulo nos diz quanto o material vai se deformar sob uma determinada tensão. Quanto maior o
, mais rígido é o material.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o Princípio dos Trabalhos Virtuais. Esse princípio basicamente afirma que, para um sistema em equilíbrio, o trabalho virtual das forças aplicadas é igual ao trabalho virtual das forças internas. Ou seja:
Isso significa que podemos relacionar as forças aplicadas com as deformações resultantes usando esse balanço de trabalhos.
Passo 4
Para aplicar o Princípio dos Trabalhos Virtuais no nosso caso, vamos identificar as forças externas aplicadas na viga de madeira e as deformações que elas causam. Suponha que temos uma força
aplicada que causa uma deformação
na viga. O trabalho virtual das forças externas será:
Já o trabalho virtual das forças internas está relacionado ao módulo de elasticidade
. Podemos expressá-lo usando a relação do módulo de elasticidade:
onde:
-
é a área da seção transversal da viga, -
é o comprimento da viga.
Passo 5
Igualando os trabalhos virtuais, temos:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o módulo de elasticidade
.
Passo 6
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
:
Agora, isolamos
:
Resposta
O módulo de elasticidade
da madeira é dado por:
Para calcular numericamente, basta substituir os valores de
(força aplicada),
(área da seção transversal),
(comprimento da viga) e
(deformação observada) na fórmula acima.
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