Calcule o módulo de elasticidade E desta espécie de madeira, utilizando os resultados do teste realizado e o Princípio dos Trabalhos Virtuais. Considere o módulo de elasticidade E constante em toda a viga.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Precisamos calcular o módulo de elasticidade de uma espécie de madeira. Para isso, vamos usar os resultados de um teste que foi feito e aplicar o Princípio dos Trabalhos Virtuais. O módulo de elasticidade é uma medida de quão rígido é um material, ou seja, como ele se deforma quando uma força é aplicada. O Princípio dos Trabalhos Virtuais nos ajuda a relacionar as forças aplicadas com as deformações resultantes de maneira eficiente. Vamos precisar entender um pouco sobre esses conceitos e como eles se conectam para calcular o .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o módulo de elasticidade . Ele é definido pela relação:
onde:
  • é a tensão aplicada (força por unidade de área),
  • é a deformação resultante (mudança relativa no comprimento).
Esse módulo nos diz quanto o material vai se deformar sob uma determinada tensão. Quanto maior o , mais rígido é o material.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o Princípio dos Trabalhos Virtuais. Esse princípio basicamente afirma que, para um sistema em equilíbrio, o trabalho virtual das forças aplicadas é igual ao trabalho virtual das forças internas. Ou seja:
Isso significa que podemos relacionar as forças aplicadas com as deformações resultantes usando esse balanço de trabalhos.

Passo 4

Para aplicar o Princípio dos Trabalhos Virtuais no nosso caso, vamos identificar as forças externas aplicadas na viga de madeira e as deformações que elas causam. Suponha que temos uma força aplicada que causa uma deformação na viga. O trabalho virtual das forças externas será:
Já o trabalho virtual das forças internas está relacionado ao módulo de elasticidade . Podemos expressá-lo usando a relação do módulo de elasticidade:
onde:
  • é a área da seção transversal da viga,
  • é o comprimento da viga.

Passo 5

Igualando os trabalhos virtuais, temos:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o módulo de elasticidade .

Passo 6

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por :
Agora, isolamos :

Resposta

O módulo de elasticidade da madeira é dado por:
Para calcular numericamente, basta substituir os valores de (força aplicada), (área da seção transversal), (comprimento da viga) e (deformação observada) na fórmula acima.

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