Calcule o momento de inercia de um anel com distribuição de massa constante de raio interno e raio externo , assumindo que seu eixo de rotação é perpendicular ao anel e passa na origem.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede. Temos um anel com massa distribuída de forma constante entre um raio interno e um raio externo . Nosso objetivo é calcular o momento de inércia desse anel em relação a um eixo que é perpendicular ao anel e passa pela origem. Para isso, vamos precisar entender o que é momento de inércia e como ele é calculado usando integrações.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o momento de inércia. Ele é uma medida de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. A fórmula geral para o momento de inércia é:
Aqui, é a distância de cada elemento de massa ao eixo de rotação.
Passo 3
Como a massa está distribuída de forma uniforme no anel, podemos expressar usando a densidade de massa por área, que chamamos de . A densidade de massa é dada por:
Onde é a massa total do anel e é a área da região do anel.
Passo 4
Vamos usar coordenadas polares para facilitar a integração. Em coordenadas polares, um elemento de área é:
Então, o elemento de massa fica:
Passo 5
Substituindo na fórmula do momento de inércia, temos:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Passo 7
Agora, resolvemos a integral em relação a integral0^2pi dtheta = 2pi :
Passo 8
Substituindo as integrais calculadas na expressão do momento de inércia:
I = sigma cdot 2pi cdot R2^4 - R1^44 = sigma pi (R2^4 - R1^4)2
Passo 9
Vamos substituir I = Mpi(R2^2 - R1^2) cdot pi(R2^4 - R1^4)2 = M (R2^4 - R1^4)2(R2^2 - R1^2) pela sua expressão em termos de :
Passo 10
Note que I = M (R2^2 + R1^2)(R2^2 - R1^2)2(R2^2 - R1^2) = M (R1^2 + R2^2)2 pode ser fatorado como . Assim, simplificamos: