Calcule o momento de inercia de um anel com distribuição de massa constante de raio interno R1 e raio externo R2, assumindo que seu eixo de rotação é perpendicular ao anel e passa na origem.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede. Temos um anel com massa distribuída de forma constante entre um raio interno e um raio externo . Nosso objetivo é calcular o momento de inércia desse anel em relação a um eixo que é perpendicular ao anel e passa pela origem. Para isso, vamos precisar entender o que é momento de inércia e como ele é calculado usando integrações.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o momento de inércia. Ele é uma medida de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. A fórmula geral para o momento de inércia I = integral r^2 , dm é:
Aqui, é a distância de cada elemento de massa ao eixo de rotação.

Passo 3

Como a massa está distribuída de forma uniforme no anel, podemos expressar sigma = Mpi(R2^2 - R1^2) usando a densidade de massa por área, que chamamos de . A densidade de massa é dada por:
Onde é a massa total do anel e é a área da região do anel.

Passo 4

Vamos usar coordenadas polares para facilitar a integração. Em coordenadas polares, um elemento de área dA = r , dr , dtheta é:
dm = sigma , dA = sigma , r , dr , dtheta
Então, o elemento de massa fica:

Passo 5

Substituindo I = integral r^2 cdot sigma , r , dr , dtheta = sigma integral0^2pi integralR1^R2 r^3 , dr , dtheta na fórmula do momento de inércia, temos:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a integralR1^R2 r^3 , dr = r^44 |R1^R2 = R2^4 - R1^44 :

Passo 7

Agora, resolvemos a integral em relação a integral0^2pi dtheta = 2pi :

Passo 8

Substituindo as integrais calculadas na expressão do momento de inércia:
I = sigma cdot 2pi cdot R2^4 - R1^44 = sigma pi (R2^4 - R1^4)2

Passo 9

Vamos substituir I = Mpi(R2^2 - R1^2) cdot pi(R2^4 - R1^4)2 = M (R2^4 - R1^4)2(R2^2 - R1^2) pela sua expressão em termos de :

Passo 10

Note que I = M (R2^2 + R1^2)(R2^2 - R1^2)2(R2^2 - R1^2) = M (R1^2 + R2^2)2 pode ser fatorado como . Assim, simplificamos:

Resposta

O momento de inércia do anel é
I = 12 M (R1^2 + R2^2) .

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