Calcule o momento de inercia de uma circunferência com distribuição de massa constante de raio R assumindo que seu eixo de rotação é perpendicular a circunferência e passa na origem.
DICA: Use o resultado do item anterior

Passo 1

Beleza, vamos calcular o momento de inércia de uma circunferência com massa distribuída de forma constante. O momento de inércia é uma medida de quanta resistência um objeto oferece à mudança em seu movimento de rotação. Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula básica do momento de inércia e entender como aplicá-la a uma circunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de momento de inércia. Ele é dado por:
I = integral r^2 , dm
Aqui, é o momento de inércia, é a distância de cada elemento de massa ao eixo de rotação.

Passo 3

Como a massa está distribuída de forma constante ao longo da circunferência, podemos usar a densidade linear de massa ( lambda = M2pi R ) para simplificar a integração. A densidade linear de massa é dada por:
Onde:
  • é a massa total da circunferência.
  • é o raio da circunferência.
  • é o comprimento total da circunferência.

Passo 4

Agora, expressamos o elemento de massa dm = lambda , ds em termos de e um pequeno segmento de comprimento :
Como a circunferência tem raio , qualquer ponto na circunferência está a distância do eixo de rotação. Portanto, para todo ponto.

Passo 5

Substituindo I = integral R^2 , dm = R^2 integral dm e I = R^2 cdot M na fórmula do momento de inércia:
Sabemos que a integral de ao longo de toda a circunferência é igual à massa total . Então:

Resposta

O momento de inércia da circunferência em relação ao eixo de rotação é:
I = M R^2

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