Calcule o momento de inercia de uma circunferência com distribuição de massa constante de raio
assumindo que seu eixo de rotação é perpendicular a circunferência e passa na origem.
DICA: Use o resultado do item anterior
DICA: Use o resultado do item anterior
Passo 1
Beleza, vamos calcular o momento de inércia de uma circunferência com massa distribuída de forma constante. O momento de inércia é uma medida de quanta resistência um objeto oferece à mudança em seu movimento de rotação. Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula básica do momento de inércia e entender como aplicá-la a uma circunferência.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de momento de inércia. Ele é dado por:
Aqui,
é o momento de inércia,
é a distância de cada elemento de massa
ao eixo de rotação.
Passo 3
Como a massa está distribuída de forma constante ao longo da circunferência, podemos usar a densidade linear de massa (
) para simplificar a integração. A densidade linear de massa é dada por:
Onde:
-
é a massa total da circunferência. -
é o raio da circunferência. -
é o comprimento total da circunferência.
Passo 4
Agora, expressamos o elemento de massa
em termos de
e um pequeno segmento de comprimento
:
Como a circunferência tem raio
, qualquer ponto na circunferência está a distância
do eixo de rotação. Portanto,
para todo ponto.
Passo 5
Substituindo
e
na fórmula do momento de inércia:
Sabemos que a integral de
ao longo de toda a circunferência é igual à massa total
. Então:
Resposta
O momento de inércia da circunferência em relação ao eixo de rotação é: