Calcule o momento de inércia de um anel com raio R e massa M. Calcule o momento de inércia de um disco com raio R e massa M.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o momento de inércia de dois objetos: um anel e um disco, ambos com raio $ R $ e massa $ M $. O momento de inércia é um conceito da física que nos diz como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. Para resolver isso, vamos precisar entender a fórmula básica do momento de inércia e aplicá-la a cada caso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o momento de inércia. Basicamente, ele mede a resistência de um objeto a mudanças em seu movimento de rotação. A fórmula geral para o momento de inércia ($ I $) de um ponto de massa é:
I
Onde:
  • $ m $ é a massa do ponto.
  • $ r $ é a distância desse ponto ao eixo de rotação.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao anel. Um anel é basicamente um círculo com toda a massa distribuída na borda. Como toda a massa está a uma distância $ R $ do centro, podemos considerar que toda a massa está concentrada nessa distância.
Então, para o anel:
R

Passo 4

Vamos passar para o disco. Um disco é um pouco diferente porque a massa está distribuída não apenas na borda, mas também no centro. Para calcular o momento de inércia de um disco sólido, usamos a fórmula:
Idisco = 12 M cdot R^2
Isso ocorre porque a massa está distribuída de forma uniforme em todo o disco, então menos massa está nas regiões mais distantes do centro em comparação com o anel.

Resposta

  • Momento de inércia do anel: $ I_{anel} = M \cdot R^2 $
  • Momento de inércia do disco: $ I_{disco} = \frac{1}{2} M \cdot R^2 $

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