Calcule o que se pede em cada espaço vetorial:
Seja V o espaço vetorial das funções reais. Sejam f(x)=x^2 e g(x)=sen(x). Calcule

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular algumas coisas dentro do espaço vetorial , que é o conjunto de todas as funções reais. Temos duas funções específicas: e . O conteúdo aqui é de Álgebra Linear, focando em espaços vetoriais e propriedades como combinação linear e independência linear. Vamos precisar entender o que significa combinar essas funções e verificar se elas são independentes ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre combinação linear. Isso significa que podemos pegar múltiplas dessas funções e somá-las após multiplicá-las por escalares (números reais). Ou seja, uma combinação linear de c1 f(x) + c2 g(x) = c1 x^2 + c2 sin(x) e seria algo como:
Onde e são números que multiplicam cada função.

Passo 3

Agora, vamos verificar a independência linear dessas funções. Dizemos que c1 f(x) + c2 g(x) = 0 e são linearmente independentes se a única solução para a equação:
É e . Isso significa que nenhuma das funções pode ser escrita como uma combinação linear da outra.

Passo 4

Para testar isso, vamos supor que:
c1 x^2 + c2 sin(x) = 0 para todo x
Queremos ver se isso só acontece quando e são zero. Vamos escolher valores específicos de para facilitar.

Passo 5

Escolha c1 (0)^2 + c2 sin(0) = 0 implies 0 + 0 = 0 :
c1 (pi2)^2 + c2 sin(pi2) = 0 implies c1 (pi^24) + c2 (1) = 0
Isso não nos dá nenhuma informação. Vamos tentar outro valor.
Escolha c1 pi^24 + c2 = 0 (Equação 1) :
Ou seja:
çã

Passo 6

Escolha c1 pi^2 + c2 sin(pi) = 0 implies c1 pi^2 + 0 = 0 :
c1 pi^2 = 0 implies c1 = 0
Então:

Passo 7

Com 0 + c2 = 0 implies c2 = 0 , vamos voltar à Equação 1:
Então, a única solução possível é e , o que significa que e são linearmente independentes.

Resposta

As funções e são linearmente independentes no espaço vetorial .

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(x, y) in R^2 mid x y=0