Calcule o que se pede em cada espaço vetorial:
Seja o espaço vetorial das funções reais. Sejam e . Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular algumas coisas dentro do espaço vetorial , que é o conjunto de todas as funções reais. Temos duas funções específicas: e . O conteúdo aqui é de Álgebra Linear, focando em espaços vetoriais e propriedades como combinação linear e independência linear. Vamos precisar entender o que significa combinar essas funções e verificar se elas são independentes ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre combinação linear. Isso significa que podemos pegar múltiplas dessas funções e somá-las após multiplicá-las por escalares (números reais). Ou seja, uma combinação linear de e seria algo como:
Onde e são números que multiplicam cada função.
Passo 3
Agora, vamos verificar a independência linear dessas funções. Dizemos que e são linearmente independentes se a única solução para a equação:
É e . Isso significa que nenhuma das funções pode ser escrita como uma combinação linear da outra.
Passo 4
Para testar isso, vamos supor que:
Queremos ver se isso só acontece quando e são zero. Vamos escolher valores específicos de para facilitar.
Passo 5
Escolha :
Isso não nos dá nenhuma informação. Vamos tentar outro valor.
Escolha :
Ou seja:
Passo 6
Escolha :
Então:
Passo 7
Com , vamos voltar à Equação 1:
Então, a única solução possível é e , o que significa que e são linearmente independentes.
Resposta
As funções e são linearmente independentes no espaço vetorial .