Calcule o percentual de aumento do volume de um cilindro sólido homogêneo sabendo que, sob uma certa variação de temperatura, seu diâmetro aumentou
. Considere
coeficiente(s) de dilatação térmica muito(s) pequeno(s).
Passo 1
Vamos resolver um problema de dilatação térmica aplicado a um cilindro sólido homogêneo. Precisamos calcular o percentual de aumento do volume quando o diâmetro do cilindro aumenta 2%. Para isso, vamos usar o conceito de dilatação linear e como ele afeta o volume de um objeto tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa dilatação térmica. Quando a temperatura de um material aumenta, suas dimensões lineares (como comprimento, largura e diâmetro) também aumentam. Esse aumento é proporcional ao aumento da temperatura e é descrito pelo coeficiente de dilatação linear.
Passo 3
No nosso caso, o diâmetro do cilindro aumenta 2%. Como o diâmetro é uma medida linear, isso significa que cada dimensão linear do cilindro (raio e altura) também aumenta 2%.
Passo 4
Agora, vamos ver como esse aumento linear afeta o volume do cilindro. O volume $ V $ de um cilindro é dado por:
onde $ r $ é o raio e $ h $ é a altura.
Passo 5
Se o raio aumenta 2%, o novo raio $ r’ $ será:
Da mesma forma, a altura $ h $ também aumenta 2%:
Passo 6
Substituindo os novos valores no volume:
Passo 7
Multiplicando os coeficientes:
Então:
Passo 8
Isso significa que o volume aumentou aproximadamente 6,12%. Arredondando, podemos dizer que o aumento do volume é de cerca de 6%.
Resposta
O volume do cilindro aumentou aproximadamente 6 %.