Calcule o percentual de aumento do volume de um cilindro sólido homogêneo sabendo que, sob uma certa variação de temperatura, seu diâmetro aumentou 2 %. Considere o(s) coeficiente(s) de dilatação térmica muito(s) pequeno(s).

Passo 1

Vamos resolver um problema de dilatação térmica aplicado a um cilindro sólido homogêneo. Precisamos calcular o percentual de aumento do volume quando o diâmetro do cilindro aumenta 2%. Para isso, vamos usar o conceito de dilatação linear e como ele afeta o volume de um objeto tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dilatação térmica. Quando a temperatura de um material aumenta, suas dimensões lineares (como comprimento, largura e diâmetro) também aumentam. Esse aumento é proporcional ao aumento da temperatura e é descrito pelo coeficiente de dilatação linear.

Passo 3

No nosso caso, o diâmetro do cilindro aumenta 2%. Como o diâmetro é uma medida linear, isso significa que cada dimensão linear do cilindro (raio e altura) também aumenta 2%.

Passo 4

Agora, vamos ver como esse aumento linear afeta o volume do cilindro. O volume $ V $ de um cilindro é dado por:
V
onde $ r $ é o raio e $ h $ é a altura.

Passo 5

Se o raio aumenta 2%, o novo raio $ r’ $ será:
r'
Da mesma forma, a altura $ h $ também aumenta 2%:
r' = r times (1 + 0,02) = 1,02r

Passo 6

Substituindo os novos valores no volume:
V' = pi (1,02r)^2 (1,02h) = pi (1,0404r^2) (1,02h) = pi times 1,0404 times 1,02 times r^2 h

Passo 7

Multiplicando os coeficientes:
1,0404 times 1,02 approx 1,0612
Então:
V' approx 1,0612 pi r^2 h

Passo 8

Isso significa que o volume aumentou aproximadamente 6,12%. Arredondando, podemos dizer que o aumento do volume é de cerca de 6%.

Resposta

O volume do cilindro aumentou aproximadamente 6 %.

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