Um cilindro contém uma certa quantidade de um gás ideal, cujo estado inicial é dado por (P0, V0). Através de um pistão, que pode mover-se livremente, o gás expande-se isotermicamente até 32 V0. A seguir, é comprimido isobaricamente até V0. Finalmente, é aquecido isocoricamente até voltar à temperatura inicial.
a) Desenhe todo o processo no diagrama P V.
b) Calcule o trabalho total realizado pelo gás neste processo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um cilindro com um gás ideal que passa por três mudanças de estado: expansão isotérmica, compressão isobárica e aquecimento isocórico, voltando às condições iniciais. A gente vai precisar entender esses processos termodinâmicos e usar algumas fórmulas para calcular o trabalho total realizado pelo gás.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada etapa do processo:
  1. Expansão Isotérmica: O gás se expande mantendo a temperatura constante. Isso significa que a pressão vai diminuir conforme o volume aumenta.
  2. Compressão Isobárica: O gás é comprimido mantendo a pressão constante. Aqui, o volume diminui de $ \frac{3}{2} V_0 $ para $ V_0 $.
  3. Aquecimento Isocórico: O gás é aquecido mantendo o volume constante, retornando à temperatura inicial.

Passo 3

a) Desenhando o processo no diagrama $ P \times V $

No diagrama $ P \times V $, cada processo é representado de forma específica:
  1. Expansão Isotérmica: Será uma curva hiperbólica descendente, já que $ PV = constante $.
  2. Compressão Isobárica: Uma linha horizontal, pois a pressão permanece constante enquanto o volume diminui.
  3. Aquecimento Isocórico: Uma linha vertical, já que o volume não muda e a pressão aumenta para voltar às condições iniciais.
O ciclo forma uma espécie de triângulo no diagrama $ P \times V $, começando em $ (P_0, V_0) $, passando por $ (P_1, \frac{3}{2} V_0) $, depois a $ (P_0, V_0) $, e finalmente retornando a $ (P_0, V_0) $.

b) Calculando o trabalho total realizado pelo gás

Vamos calcular o trabalho realizado em cada etapa e depois somar tudo.

1. Trabalho na Expansão Isotérmica

Na expansão isotérmica, a temperatura é constante, então usamos a fórmula do trabalho para processo isotérmico:
P times V
Mas como não temos $ nRT $, podemos usar a relação $ P_0 V_0 = nRT $. Assim:
P times V

2. Trabalho na Compressão Isobárica

Na compressão isobárica (pressão constante), o trabalho é dado por:
PV = constante
O sinal negativo indica que o trabalho é realizado sobre o gás.

3. Trabalho no Aquecimento Isocórico

No processo isocórico (volume constante), não há variação de volume, então o trabalho é zero:
P times V

4. Trabalho Total

Somando os trabalhos das três etapas:
(P0, V0)
Simplificando:
(P1, 32 V0)

Resposta

O trabalho total realizado pelo gás no processo é:
Wtotal = P0 V0 ( ln(32) - 12 )

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