Calcule o potencial na origem produzido por uma linha de cargas rhoL=k x(x^2+a^2) que se estende ao longo do eixo x, de x=a até +infty, onde a>0. Considere o zero de referência no infinito.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o potencial elétrico na origem causado por uma linha de cargas com densidade rhoL = k xx^2 + a^2, que vai do ponto x = a até o infinito no eixo x. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a fórmula para o potencial devido a uma distribuição contínua de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico V em um ponto devido a uma distribuição contínua de carga é dado por:
V = 14pi varepsilon0 integral dqr
Onde:
  • dq é um elemento de carga.
  • r é a distância entre o elemento de carga dq e o ponto onde estamos calculando o potencial.
  • varepsilon0 é a permissividade do vácuo.

Passo 3

No nosso caso, a linha de carga está ao longo do eixo x, e queremos calcular o potencial na origem (0,0,0). A densidade linear de carga é:
rhoL(x) = k xx^2 + a^2
Então, o elemento de carga dq é:
dq = rhoL(x) , dx = k xx^2 + a^2 , dx

Passo 4

A distância r entre um ponto na linha de carga em x e a origem é simplesmente x, já que estamos no eixo x. Então, podemos substituir r = x na fórmula do potencial:
V = 14pi varepsilon0 integrala^infty rhoL(x)x , dx
Substituindo rhoL(x):
V = 14pi varepsilon0 integrala^infty k xx^2 + a^2x , dx = k4pi varepsilon0 integrala^infty 1x^2 + a^2 , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral:
integral 1x^2 + a^2 , dx
Sabemos que:
integral 1x^2 + a^2 , dx = 1a tan^-1(xa) + C
Aplicando os limites de integração de a até infty:
integrala^infty 1x^2 + a^2 , dx = [ 1a tan^-1(xa) ]a^infty

Passo 6

Calculando os limites:
  • Quando x to infty, tan^-1(xa) to pi2.
  • Quando x = a, tan^-1(aa) = tan^-1(1) = pi4.
Então:
integrala^infty 1x^2 + a^2 , dx = 1a ( pi2 - pi4 ) = 1a cdot pi4 = pi4a

Passo 7

Voltando à expressão do potencial:
V = k4pi varepsilon0 cdot pi4a = k4pi varepsilon0 cdot pi4a = k16 varepsilon0 a

Resposta

O potencial na origem é $ V = \frac{k}{16, \varepsilon_{0}, a} $.

Exercícios relacionados