Calcule o potencial na origem produzido por uma linha de cargas
que se estende ao longo do eixo
, de
até
, onde
. Considere o zero de referência no infinito.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o potencial elétrico na origem causado por uma linha de cargas com densidade
, que vai do ponto
até o infinito no eixo
. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a fórmula para o potencial devido a uma distribuição contínua de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico
em um ponto devido a uma distribuição contínua de carga é dado por:
Onde:
-
é um elemento de carga. -
é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde estamos calculando o potencial. -
é a permissividade do vácuo.
Passo 3
No nosso caso, a linha de carga está ao longo do eixo
, e queremos calcular o potencial na origem
. A densidade linear de carga é:
Então, o elemento de carga
é:
Passo 4
A distância
entre um ponto na linha de carga em
e a origem é simplesmente
, já que estamos no eixo
. Então, podemos substituir
na fórmula do potencial:
Substituindo
:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a integral:
Sabemos que:
Aplicando os limites de integração de
até
:
Passo 6
Calculando os limites:
- Quando
, . - Quando
, .
Então:
Passo 7
Voltando à expressão do potencial:
Resposta
O potencial na origem é $ V = \frac{k}{16, \varepsilon_{0}, a} $.