Seja V=2 x y^2 z^3+3 ln (x^2+2 y^2+3 z^2) V, no espaço livre. Calcule cada uma das seguintes grandezas em P(3,2,-1):

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função escalar $ V = 2xyz^{2} + 3 \ln\left(x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2}\right) $ definida no espaço livre. O exercício pede para calcular algumas grandezas relacionadas a essa função no ponto $ P(3, 2, -1) $. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e o gradiente de uma função. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são derivadas parciais. Em funções de várias variáveis, como essa que temos aqui, as derivadas parciais nos mostram como a função muda quando uma variável muda, mantendo as outras constantes. Por exemplo, a derivada parcial de $ V $ em relação a $ x $ indica como $ V $ varia quando só $ x $ muda.

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas parciais de $ V $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $.
Para $ \frac{\partial V}{\partial x} $:
V
A derivada de $ 2xy{2}z{3} $ em relação a $ x $ é $ 2y{2}z{3} $.
Para a segunda parte, usamos a regra da cadeia:
x
onde $ u = x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2} $. Então:
y
Portanto:
z

Passo 4

Agora, vamos calcular $ \frac{\partial V}{\partial y} $.
A derivada de $ 2xy{2}z{3} $ em relação a $ y $ é $ 4xyz^{3} $.
Para a segunda parte:
partial Vpartial y
Então:
2xy^2z^3

Passo 5

Agora, vamos para $ \frac{\partial V}{\partial z} $.
A derivada de $ 2xy{2}z{3} $ em relação a $ z $ é $ 6xy{2}z{2} $.
Para a segunda parte:
partial Vpartial z
Então:
2xy^2z^3

Passo 6

Agora que temos as derivadas parciais, podemos calcular o gradiente de $ V $, que é um vetor formado por essas derivadas:
V

Passo 7

Vamos calcular o valor dessas derivadas no ponto $ P(3, 2, -1) $.
Primeiro, calculamos $ u = x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2} $ em $ P(3, 2, -1) $:
P(3, 2, -1)
Agora, substituímos $ x = 3 $, $ y = 2 $, $ z = -1 $ nas derivadas:
Para $ \frac{\partial V}{\partial x} $:
u = x^2 + 2y^2 + 3z^2
Para $ \frac{\partial V}{\partial y} $:
P(3, 2, -1)
Para $ \frac{\partial V}{\partial z} $:
u = 3^2 + 2(2)^2 + 3(-1)^2 = 9 + 8 + 3 = 20

Resposta

No ponto $ P(3, 2, -1) $, as derivadas parciais de $ V $ são:
P(3, 2, -1)
V
partial Vpartial x = -7,1
E o gradiente de $ V $ nesse ponto é:
partial Vpartial y = -22,8

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