Seja
, no espaço livre. Calcule cada uma das seguintes grandezas em
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função escalar $ V = 2xyz^{2} + 3 \ln\left(x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2}\right) $ definida no espaço livre. O exercício pede para calcular algumas grandezas relacionadas a essa função no ponto $ P(3, 2, -1) $. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e o gradiente de uma função. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são derivadas parciais. Em funções de várias variáveis, como essa que temos aqui, as derivadas parciais nos mostram como a função muda quando uma variável muda, mantendo as outras constantes. Por exemplo, a derivada parcial de $ V $ em relação a $ x $ indica como $ V $ varia quando só $ x $ muda.
Passo 3
Vamos começar calculando as derivadas parciais de $ V $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $.
Para $ \frac{\partial V}{\partial x} $:
A derivada de $ 2xy{2}z{3} $ em relação a $ x $ é $ 2y{2}z{3} $.
Para a segunda parte, usamos a regra da cadeia:
onde $ u = x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2} $. Então:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ \frac{\partial V}{\partial y} $.
A derivada de $ 2xy{2}z{3} $ em relação a $ y $ é $ 4xyz^{3} $.
Para a segunda parte:
Para a segunda parte:
Então:
Passo 5
Agora, vamos para $ \frac{\partial V}{\partial z} $.
A derivada de $ 2xy{2}z{3} $ em relação a $ z $ é $ 6xy{2}z{2} $.
Para a segunda parte:
Para a segunda parte:
Então:
Passo 6
Agora que temos as derivadas parciais, podemos calcular o gradiente de $ V $, que é um vetor formado por essas derivadas:
Passo 7
Vamos calcular o valor dessas derivadas no ponto $ P(3, 2, -1) $.
Primeiro, calculamos $ u = x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2} $ em $ P(3, 2, -1) $:
Agora, substituímos $ x = 3 $, $ y = 2 $, $ z = -1 $ nas derivadas:
Para $ \frac{\partial V}{\partial x} $:
Para $ \frac{\partial V}{\partial y} $:
Para $ \frac{\partial V}{\partial z} $:
Resposta
No ponto $ P(3, 2, -1) $, as derivadas parciais de $ V $ são:
E o gradiente de $ V $ nesse ponto é: