Calcule a quantidade de maneiras de colocar em um tabuleiro de xadrez dois bispos que não se ameacem.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular de quantas maneiras podemos colocar dois bispos em um tabuleiro de xadrez de modo que eles não se ameacem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinatória e entender como os bispos se movimentam no xadrez.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quantas casas existem em um tabuleiro de xadrez. Um tabuleiro padrão tem 8 linhas e 8 colunas, totalizando 64 casas.

Passo 3

Agora, vamos calcular o número total de maneiras de colocar dois bispos em qualquer posição do tabuleiro, sem considerar se eles se ameaçam ou não. Isso é um problema de combinação, onde queremos escolher 2 casas dentre 64. A fórmula de combinação é:
Aplicando os valores:
Portanto, existem 2016 maneiras de colocar dois bispos no tabuleiro sem restrições.

Passo 4

Agora, precisamos descobrir quantas dessas combinações fazem com que os bispos se ameacem. No xadrez, os bispos se movimentam nas diagonais. Então, dois bispos se ameaçam se estiverem na mesma diagonal.
Para contar essas situações, vamos considerar as diagonais do tabuleiro. Existem duas direções de diagonais em um tabuleiro de xadrez:
  1. Diagonais da esquerda para a direita.
  2. Diagonais da direita para a esquerda.
Cada uma dessas direções tem 15 diagonais. O número de casas em cada diagonal varia de 1 a 8.

Passo 5

Para cada diagonal, vamos calcular quantas combinações de duas casas existem. Se uma diagonal tem n casas, o número de maneiras de escolher 2 casas nessa diagonal é dado por:
Vamos somar essas combinações para todas as diagonais de ambas as direções.

Passo 6

Calculando para cada diagonal:
  • Diagonais com 2 casas:
  • Diagonais com 3 casas:
  • Diagonais com 4 casas:
  • Diagonais com 5 casas:
  • Diagonais com 6 casas:
  • Diagonais com 7 casas:
  • Diagonais com 8 casas:
Agora, somamos essas combinações para uma direção e multiplicamos por 2 (pois existem duas direções):
Então, existem 168 maneiras de colocar dois bispos de modo que eles se ameacem.

Passo 7

Finalmente, para encontrar o número de maneiras de colocar dois bispos que não se ameçam, subtraímos as combinações que se ameaçam do total de combinações possíveis:

Resposta

Existem 1.848 maneiras de colocar dois bispos em um tabuleiro de xadrez de modo que eles não se ameçam.

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(b) não contém os algarismos 2 nem 7 .
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©
(a) Seja . Quantos subconjuntos de contém o elemento ?
© Seja um conjunto com . Prove que se é ímpar, então para todo e tem paridades diferentes e que portanto, a aplicação é uma bijeção da coleção de subconjuntos de de cardinalidade par para a coleção de subconjuntos de de cardinalidade ímpar.