Quantos inteiros de quatro algarismos, maiores que 5400 satisfazem as duas condições abaixo:
(a) os algarismos são distintos;
(b) não contém os algarismos 2 nem 7 .
(a) os algarismos são distintos;
(b) não contém os algarismos 2 nem 7 .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Queremos encontrar quantos números inteiros de quatro algarismos, maiores que 5400, atendem a duas condições:
- Os algarismos são distintos: nenhum dígito se repete.
- Não contêm os algarismos 2 nem 7: esses dígitos não podem aparecer em lugar nenhum do número.
Para resolver isso, vamos analisar cada posição do número (milhar, centenas, dezenas, unidades) considerando essas restrições.
Passo 2
Começamos pelo dígito da milhar. Como o número precisa ser maior que 5400, o primeiro dígito pode ser 5, 6, 8 ou 9 (já que não podemos usar 2 ou 7). Isso nos dá 4 opções para o primeiro dígito.
Passo 3
Agora, para o dígito das centenas, não podemos repetir o dígito da milhar e também não podemos usar 2 nem 7. Como já usamos um dígito na milhar, restam 7 opções (de 0 a 9, excluindo 2, 7 e o dígito da milhar).
Passo 4
Em seguida, para o dígito das dezenas, não podemos repetir nenhum dos dois primeiros dígitos e nem usar 2 ou 7. Assim, restam 6 opções disponíveis.
Passo 5
Finalmente, para o dígito das unidades, evitamos repetir qualquer um dos três dígitos anteriores e também excluímos 2 e 7. Isso deixa 5 opções disponíveis.
Passo 6
Para encontrar o total de números que atendem a todas as condições, multiplicamos o número de opções para cada posição:
Resposta
Existem 840 números inteiros de quatro algarismos maiores que 5400 que satisfazem as condições dadas.