Quantos divisores positivos diferentes cada um dos números abaixo tem?
© 10^10

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir quantos divisores positivos diferentes o número tem. Para resolver isso, vamos usar um conceito da matemática chamado fatoração em números primos e outra ferramenta chamada fórmula dos divisores. Vamos precisar entender como esses conceitos funcionam juntos para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o número 10^10 = (2 times 5)^10 = 2^10 times 5^10 em números primos. Sabemos que 10 pode ser escrito como . Então, elevando ambos os fatores à décima potência, temos:

Passo 3

Agora que temos a fatoração em números primos, podemos usar a fórmula para encontrar o número total de divisores. A regra é a seguinte: se um número pode ser expresso como (a + 1) times (b + 1) times dots times (k + 1) , onde são números primos e são seus respectivos expoentes, então o número total de divisores é:
Isso porque para cada primo, você pode escolher qualquer potência desde 0 até o expoente daquele primo para formar um divisor.

Passo 4

Aplicando essa fórmula ao nosso caso, onde temos (10 + 1) times (10 + 1) = 11 times 11 = 121 , os expoentes são ambos 10. Então, o número de divisores será:

Resposta

Portanto, o número tem 121 divisores positivos diferentes.

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