Calcule os raios das órbitas e energias permitidas nos níveis n=1 e n=2 nos átomos H(Z=1) e He^+(Z=2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular os raios das órbitas e as energias permitidas para os níveis rn = n^2 cdot hbar^2Z cdot k cdot e^2 cdot me e En = -Z^2 cdot k^2 cdot e^4 cdot me2 cdot hbar^2 cdot n^2 nos átomos de Hidrogênio ( ) e Íon Hélio ( ). Para isso, vamos usar o modelo de Bohr do átomo, que nos dá fórmulas para o raio das órbitas e para a energia dos níveis. Vamos precisar das seguintes fórmulas:
  • Raio da órbita:
  • Energia do nível:
Aqui, é o número quântico principal, é o número atômico, é a constante de Planck reduzida, é a constante de Coulomb, é a carga do elétron e é a massa do elétron.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os raios das órbitas para cada caso. A fórmula que a gente vai usar é:
rn = n^2 cdot hbar^2Z cdot k cdot e^2 cdot me
Vamos simplificar essa fórmula usando valores conhecidos das constantes:
rn = n^2 cdot a0Z
Onde é o raio de Bohr, que vale aproximadamente metros.

Passo 3

Agora, vamos calcular os raios das órbitas para cada átomo e nível:
  1. Hidrogênio ( r1 = 1^2 cdot a01 = 1 cdot a0 = 5,29 times 10^-11 , m ):
    • r2 = 2^2 cdot a01 = 4 cdot a0 = 2,12 times 10^-10 , m : r1 = 1^2 cdot a02 = 12 cdot a0 = 2,65 times 10^-11 , m
    • r2 = 2^2 cdot a02 = 42 cdot a0 = 2 cdot a0 = 1,06 times 10^-10 , m :
  2. Íon Hélio ( ):
    • :
    • :

Passo 4

Agora, vamos calcular as energias dos níveis usando a seguinte fórmula:
En = -Z^2 cdot k^2 cdot e^4 cdot me2 cdot hbar^2 cdot n^2
Vamos simplificar essa expressão conhecendo que a energia do nível En = -13,6 , eVn^2 cdot Z^2 no hidrogênio é:
Onde eV é a energia do nível fundamental para o hidrogênio.

Passo 5

Vamos calcular as energias dos níveis para cada átomo e nível:
  1. Hidrogênio ( E1 = -13,6 , eV1^2 cdot 1^2 = -13,6 , eV ):
    • E2 = -13,6 , eV2^2 cdot 1^2 = -3,4 , eV : E1 = -13,6 , eV1^2 cdot 2^2 = -54,4 , eV
    • E2 = -13,6 , eV2^2 cdot 2^2 = -13,6 , eV :
  2. Íon Hélio ( ):
    • :
    • :

Resposta

Os raios das órbitas e as energias permitidas nos níveis r1 = 5,29 times 10^-11 , m, E1 = -13,6 , eV e r2 = 2,12 times 10^-10 , m, E2 = -3,4 , eV são:
  1. Hidrogênio ( r1 = 2,65 times 10^-11 , m, E1 = -54,4 , eV ):
    • r2 = 1,06 times 10^-10 , m, E2 = -13,6 , eV :
    • :
  2. Íon Hélio ( ):
    • :
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